Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14084
2020-04-16 
Однородная среда заполняет полупространство, ограниченное плоскостью $x = 0$. В начальный момент времени $t = 0$ температура среды всюду одинакова и равна $T_{0}$. Температура на поверхности среды все время поддерживается постоянной и равной $T_{1} \neq T_{0}$. Найти распределение температуры $T(x, t)$ в среде во все последующие моменты времени. Найти также градиент температуры вблизи границы среды.
Решение:
Рассматриваемая задача является типичной краевой задачей, к которой применима теорема единственности. Направим ось $X$ внутрь среды перпендикулярно к ее границе. Для нахождения решения уравнения теплопроводности
$\frac{ \partial T}{ \partial t} = a^{2} \frac{ \partial^{2} T }{ \partial t^{2} }$,
удовлетворяющего требуемым краевым и начальным условиям, применим сначала метод размерности. Из шести величин $T, x, t, T_{0}, T_{1}, a$ можно составить только три независимые безразмерные комбинации, например, $\frac{T}{T_{0}}, \frac{T_{1}}{T_{0} }, \frac{x}{a \sqrt{t} } \equiv \xi$. Вторая из них есть постоянное число и может не приниматься во внимание. Поэтому должно быть $T = f( \xi)$. Подставляя это выражение в уравнение теплопроводности, придадим ему вид
$\frac{d^{2}f}{d \xi^{2} } = - 2 \xi \frac{df}{d \xi}$.
Обозначая дифференцирование по $\xi$ штрихом и разделяя переменные, получим
$\frac{df^{ \prime} }{f^{ \prime} } = -2 \xi d \xi = - d \xi^{2}$.
Отсюда двукратным интегрированием находим
$T = A \int_{0}^{ \frac{x}{2a \sqrt{t} } } e^{- \xi^{2} } d \xi + B$.
Постоянная $B$ дает температуру поверхности среды во все моменты времени $t \neq 0$. По условию она постоянна и равна $T_{1}$. Постоянная $A$ определится из начального условия: $T = T_{0}$ при $t=0$. Это дает
$T_{0} = A \int_{0}^{ \infty } e^{- \xi^{2} } d \xi + T_{1} = \frac{A \sqrt{ \pi} }{2} + T_{1}$.
Окончательно
$T = 2 \frac{T_{0} - T_{1} }{ \sqrt{ \pi} } \int_{0}^{ \frac{x}{2a \sqrt{t} } } e^{ - \xi^{2} } d \xi + T_{1}$.
Отсюда получаем температурный градиент
$\frac{ \partial T}{ \partial x} = \frac{T_{0} - T_{1} }{a \sqrt{ \pi t} } e^{ - \frac{x^{2} }{4a^{2}t } }$.
В частности, на границе среды, т. е. при $x = 0$
$\frac{ \partial T}{ \partial x} = \frac{T_{0} - T_{1} }{a \sqrt{ \pi t} } = 2 \frac{T_{0} - T_{1} }{v \sqrt{ \tau t} } = \frac{ \gamma (T_{0} - T_{1} ) }{ \pi } \sqrt{ \frac{ \tau}{t} }$,
где $v = 2a \sqrt{ \frac{ \pi }{ \tau } }$ - фазовая скорость температурных волн, $\tau$ - их период, $\gamma = \frac{1}{a} \sqrt{ \frac{ \pi}{ \tau} }$ - коэффициент затухания.
Однородная среда заполняет полупространство, ограниченное плоскостью $x = 0$. В начальный момент времени $t = 0$ температура среды всюду одинакова и равна $T_{0}$. Температура на поверхности среды все время поддерживается постоянной и равной $T_{1} \neq T_{0}$. Найти распределение температуры $T(x, t)$ в среде во все последующие моменты времени. Найти также градиент температуры вблизи границы среды.
Решение:
Рассматриваемая задача является типичной краевой задачей, к которой применима теорема единственности. Направим ось $X$ внутрь среды перпендикулярно к ее границе. Для нахождения решения уравнения теплопроводности
$\frac{ \partial T}{ \partial t} = a^{2} \frac{ \partial^{2} T }{ \partial t^{2} }$,
удовлетворяющего требуемым краевым и начальным условиям, применим сначала метод размерности. Из шести величин $T, x, t, T_{0}, T_{1}, a$ можно составить только три независимые безразмерные комбинации, например, $\frac{T}{T_{0}}, \frac{T_{1}}{T_{0} }, \frac{x}{a \sqrt{t} } \equiv \xi$. Вторая из них есть постоянное число и может не приниматься во внимание. Поэтому должно быть $T = f( \xi)$. Подставляя это выражение в уравнение теплопроводности, придадим ему вид
$\frac{d^{2}f}{d \xi^{2} } = - 2 \xi \frac{df}{d \xi}$.
Обозначая дифференцирование по $\xi$ штрихом и разделяя переменные, получим
$\frac{df^{ \prime} }{f^{ \prime} } = -2 \xi d \xi = - d \xi^{2}$.
Отсюда двукратным интегрированием находим
$T = A \int_{0}^{ \frac{x}{2a \sqrt{t} } } e^{- \xi^{2} } d \xi + B$.
Постоянная $B$ дает температуру поверхности среды во все моменты времени $t \neq 0$. По условию она постоянна и равна $T_{1}$. Постоянная $A$ определится из начального условия: $T = T_{0}$ при $t=0$. Это дает
$T_{0} = A \int_{0}^{ \infty } e^{- \xi^{2} } d \xi + T_{1} = \frac{A \sqrt{ \pi} }{2} + T_{1}$.
Окончательно
$T = 2 \frac{T_{0} - T_{1} }{ \sqrt{ \pi} } \int_{0}^{ \frac{x}{2a \sqrt{t} } } e^{ - \xi^{2} } d \xi + T_{1}$.
Отсюда получаем температурный градиент
$\frac{ \partial T}{ \partial x} = \frac{T_{0} - T_{1} }{a \sqrt{ \pi t} } e^{ - \frac{x^{2} }{4a^{2}t } }$.
В частности, на границе среды, т. е. при $x = 0$
$\frac{ \partial T}{ \partial x} = \frac{T_{0} - T_{1} }{a \sqrt{ \pi t} } = 2 \frac{T_{0} - T_{1} }{v \sqrt{ \tau t} } = \frac{ \gamma (T_{0} - T_{1} ) }{ \pi } \sqrt{ \frac{ \tau}{t} }$,
где $v = 2a \sqrt{ \frac{ \pi }{ \tau } }$ - фазовая скорость температурных волн, $\tau$ - их период, $\gamma = \frac{1}{a} \sqrt{ \frac{ \pi}{ \tau} }$ - коэффициент затухания.
