Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14081
2020-04-16 
Показать, что решение одномерного уравнения теплопроводности в однородной среде
$\rho c_{v} \frac{ \partial T}{ \partial t} = \xi \frac{ \partial^{2} T }{ \partial x^{2} } + q(x, T)$ (1)
единственное, если заданы начальное и краевые условия:
$T_{t = 0} = f(x)$, (2)
$T_{x = 0} = \phi_{1} (t), T_{x = l} = \phi_{1}(t)$. (3)
Плотность мощности источника тепла $q(x, t)$, а также функции $f(x), \phi_{1}(t)$ и $\phi_{2}(t)$ предполагаются заданными.
Решение:
Для справедливости теоремы единственности существенно, что температуропроводность $\chi = \frac{ \xi}{ \rho \rho_{v}}$ всегда положительна. Допустим, что уравнение (1) имеет два решения: $T_{1} (x, t)$ и $T_{2} (x, t)$, удовлетворяющие начальному условию (2) и краевым условиям (3). Тогда
$\frac{ \partial T_{1} }{ \partial t} = \chi \frac{ \partial^{2} T_{1} }{ \partial x^{2} } + \frac{q}{ \rho c}, \frac{ \partial T_{2} }{ \partial t} = \chi \frac{ \partial^{2} T_{2} }{ \partial x^{2} } + \frac{q}{ \rho c}$.
Вычитая почленно и вводя обозначение $\Theta = T_{1} - T_{2}$, получим
$\frac{ \partial \Theta}{ \partial t} = \chi \frac{ \partial^{2} \Theta }{ \partial x^{2} }$, (4)
т. е. функция $\Theta (x, t)$ удовлетворяет уравнению теплопроводности без источников. Кроме того, ясно, что эта функция удовлетворяет "нулевым" начальным и граничным условиям:
$\Theta_{t = 0} = 0$ при любых $x$, (5)
$\Theta_{x = 0} = 0, \Theta_{x = l} = 0$ при любых $t$. (6)
Рассмотрим интеграл $I(t) = \int_{0}^{l} \Theta^{2} dx$. Ясно, что он не может быть отрицательным. Кроме того, ввиду (5), $I(0) = 0$. Найдем производную интеграла $I(t)$ по времени:
$\frac{dI}{dt} = 2 \int_{0}^{l} \Theta \frac{ \partial \Theta}{ \partial l} dx = 2 \chi \int_{0}^{l} \Theta \frac{ \partial^{2} \Theta }{ \partial x^{2} } dx$.
Интегрируя по частям, получим
$\frac{dI}{dt} = 2 \chi \Theta \left . \frac{ \partial \Theta}{ \partial x } \right |_{0}^{l} - 2 \chi \int_{0}^{l} \left ( \frac{ \partial \Theta }{ \partial x} \right )^{2} dx$.
Первое слагаемое в правой части обращается в нуль ввиду граничных условий (6). Второе слагаемое отрицательно или нуль, так как $\chi > 0$. Таким образом, $\frac{dI}{dt} \leq 0$. С течением времени интеграл $I$ может только убывать или оставаться постоянным. Первое невозможно, так как должно быть $I(0) = 0, I(t) \geq 0$. Остается единственная возможность $\frac{dI}{dt} = 0$, т. е. $I(t) = const = I(0) = 0$. Это возможно тогда и только тогда, когда $\Theta (x, t) \equiv 0$, т. е. $T_{1}(x, t) = T_{2}(x, t)$. Единственность решения доказана.
Показать, что решение одномерного уравнения теплопроводности в однородной среде
$\rho c_{v} \frac{ \partial T}{ \partial t} = \xi \frac{ \partial^{2} T }{ \partial x^{2} } + q(x, T)$ (1)
единственное, если заданы начальное и краевые условия:
$T_{t = 0} = f(x)$, (2)
$T_{x = 0} = \phi_{1} (t), T_{x = l} = \phi_{1}(t)$. (3)
Плотность мощности источника тепла $q(x, t)$, а также функции $f(x), \phi_{1}(t)$ и $\phi_{2}(t)$ предполагаются заданными.
Решение:
Для справедливости теоремы единственности существенно, что температуропроводность $\chi = \frac{ \xi}{ \rho \rho_{v}}$ всегда положительна. Допустим, что уравнение (1) имеет два решения: $T_{1} (x, t)$ и $T_{2} (x, t)$, удовлетворяющие начальному условию (2) и краевым условиям (3). Тогда
$\frac{ \partial T_{1} }{ \partial t} = \chi \frac{ \partial^{2} T_{1} }{ \partial x^{2} } + \frac{q}{ \rho c}, \frac{ \partial T_{2} }{ \partial t} = \chi \frac{ \partial^{2} T_{2} }{ \partial x^{2} } + \frac{q}{ \rho c}$.
Вычитая почленно и вводя обозначение $\Theta = T_{1} - T_{2}$, получим
$\frac{ \partial \Theta}{ \partial t} = \chi \frac{ \partial^{2} \Theta }{ \partial x^{2} }$, (4)
т. е. функция $\Theta (x, t)$ удовлетворяет уравнению теплопроводности без источников. Кроме того, ясно, что эта функция удовлетворяет "нулевым" начальным и граничным условиям:
$\Theta_{t = 0} = 0$ при любых $x$, (5)
$\Theta_{x = 0} = 0, \Theta_{x = l} = 0$ при любых $t$. (6)
Рассмотрим интеграл $I(t) = \int_{0}^{l} \Theta^{2} dx$. Ясно, что он не может быть отрицательным. Кроме того, ввиду (5), $I(0) = 0$. Найдем производную интеграла $I(t)$ по времени:
$\frac{dI}{dt} = 2 \int_{0}^{l} \Theta \frac{ \partial \Theta}{ \partial l} dx = 2 \chi \int_{0}^{l} \Theta \frac{ \partial^{2} \Theta }{ \partial x^{2} } dx$.
Интегрируя по частям, получим
$\frac{dI}{dt} = 2 \chi \Theta \left . \frac{ \partial \Theta}{ \partial x } \right |_{0}^{l} - 2 \chi \int_{0}^{l} \left ( \frac{ \partial \Theta }{ \partial x} \right )^{2} dx$.
Первое слагаемое в правой части обращается в нуль ввиду граничных условий (6). Второе слагаемое отрицательно или нуль, так как $\chi > 0$. Таким образом, $\frac{dI}{dt} \leq 0$. С течением времени интеграл $I$ может только убывать или оставаться постоянным. Первое невозможно, так как должно быть $I(0) = 0, I(t) \geq 0$. Остается единственная возможность $\frac{dI}{dt} = 0$, т. е. $I(t) = const = I(0) = 0$. Это возможно тогда и только тогда, когда $\Theta (x, t) \equiv 0$, т. е. $T_{1}(x, t) = T_{2}(x, t)$. Единственность решения доказана.
