Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14080
2020-04-16 
Урановый шар радиуса $R = 10 см$, помещенный в сосуд с водой, облучается равномерным потоком нейтронов. В результате реакций деления ядер урана в шаре выделяется энергия $q = 100 Вт/см^{3}$. Температура воды $T = 373 К$, теплопроводность урана $\xi = 400 Вт/(м \cdot ^{ \circ} С)$. Найти стационарное распределение температуры в шаре, а также температуру в его центре.
Решение:
Уравнение теплопроводности при наличии источников тепла с плотностью мощности $q$ для сферически симметричных задач имеет вид
$\rho c_{v} \frac{ \partial T}{ \partial t} = \frac{1}{r^{2} } \frac{ \partial }{ \partial t} \left ( \xi r^{2} \frac{ \partial T}{ \partial r} \right ) + q$. (1)
В стационарном случае $\frac{ \partial T}{ \partial t} = 0$, и после однократного интегрирования написанного уравнения ($q = const$) получим
$\frac{dT}{dr} = - \frac{q}{3 \xi}r + \frac{C}{r^{2} }$.
Постоянная интегрирования $C$ должна равняться нулю, так как в противном случае в центре шара мы получили бы бесконечное значение для производной $\frac{dT}{dr}$. Интегрируя вторично с учетом граничного условия $T = T_{0}$ при $r = R$, найдем
$T = T_{0} + \frac{q}{6 \xi} (R^{2} - r^{2} )$.
Температура в центре шара
$T_{ц} = T_{0} + \frac{qR^{2} }{6 \xi} = 790 К$.
Урановый шар радиуса $R = 10 см$, помещенный в сосуд с водой, облучается равномерным потоком нейтронов. В результате реакций деления ядер урана в шаре выделяется энергия $q = 100 Вт/см^{3}$. Температура воды $T = 373 К$, теплопроводность урана $\xi = 400 Вт/(м \cdot ^{ \circ} С)$. Найти стационарное распределение температуры в шаре, а также температуру в его центре.
Решение:
Уравнение теплопроводности при наличии источников тепла с плотностью мощности $q$ для сферически симметричных задач имеет вид
$\rho c_{v} \frac{ \partial T}{ \partial t} = \frac{1}{r^{2} } \frac{ \partial }{ \partial t} \left ( \xi r^{2} \frac{ \partial T}{ \partial r} \right ) + q$. (1)
В стационарном случае $\frac{ \partial T}{ \partial t} = 0$, и после однократного интегрирования написанного уравнения ($q = const$) получим
$\frac{dT}{dr} = - \frac{q}{3 \xi}r + \frac{C}{r^{2} }$.
Постоянная интегрирования $C$ должна равняться нулю, так как в противном случае в центре шара мы получили бы бесконечное значение для производной $\frac{dT}{dr}$. Интегрируя вторично с учетом граничного условия $T = T_{0}$ при $r = R$, найдем
$T = T_{0} + \frac{q}{6 \xi} (R^{2} - r^{2} )$.
Температура в центре шара
$T_{ц} = T_{0} + \frac{qR^{2} }{6 \xi} = 790 К$.
