2016-11-20
Лестница опирается на вертикальную стену и пол. При каких значениях угла между лестницей и полом она может стоять, если коэффициенты трения лестницы о пол и о стену равны $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ соответственно?
Решение:
Воспользуемся первым условием равновесия: сумма всех сил, действующих на лестницу, равна нулю. В проекциях на оси это даст:
$F_{2} + N_{1} -mg = 0$ (1)
$N_{2} - F_{1} = 0$. (2)
Запишем второе условие равновесия: равенство нулю суммы моментов всех сил относительно, например, точки О:
$N_{1} \cos \alpha l - F_{1} l \sin \alpha - mg \frac{l}{2} \cos \alpha = 0$. (3)
Будем считать, что мы рассматриваем критический момент, то есть лестница находится на грани проскальзывания. При этом, очевидно, угол а минимален, а сила трения достигает своего максимального значения:
$F_{1} = \mu_{1}N_{1}$ (4)
$F_{2} = \mu_{2}N_{2}$. (5)
Решая систему уравнений (1—5), находим:
$tg \alpha = \frac{1 - \mu_{1} \mu_{2}}{2 \mu_{1}}$,
откуда окончательно:
$\alpha \geq arctg \frac{1 - \mu_{1} \mu_{2}}{ 2 \mu_{1}}$.
Разумеется, результат не изменился бы, если бы в качестве точки О мы взяли любую другую точку. Как отмечалось во введении к разделу, выбор точки О определяется лишь соображениями удобства: максимально простой записью условия равенства суммы моментов сил нулю.