Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14079
2020-04-16 
С помощью второго начала термодинамики найти условие конвективной устойчивости неравномерно нагретой жидкости или реального газа в однородном поле тяжести. Теплопроводность жидкости или газа считать пренебрежимо малой. См. задачу 14064.
Решение:
В состоянии механического равновесия температура $T$, удельный объем $v$ и давление $P$ жидкости являются функциями только высоты $z$ над земной поверхностью. Пусть $dv, dT, dP$ означают бесконечно малые приращения $v, T, P$ в покоящейся жидкости при изменении высоты на $dz$. В силу уравнения состояния эти величины связаны соотношением
$dv = \left ( \frac{ \partial v}{ \partial T} \right )_{P} dT + \left ( \frac{ \partial v}{ \partial P} \right ) dP$. (1)
Допустим теперь, что под действием какого-то бесконечно малого возмущения элемент жидкости переместился feeepx на $dz$. Такое перемещение происходит в отсутствие теплообмена, т. е. адиабатически, а потому для него можно написать
$dv_{ад} = \left ( \frac{ \partial v}{ \partial T} \right )_{P} dT_{ад} + \left ( \frac{ \partial v }{ \partial P} \right )_{T} dP$. (2)
Здесь $dT_{ад}$ и $dP$ означают приращения температуры и давления внутри рассматриваемого элемента жидкости при адиабатическом поднятии его на высоту $dz$. (Значок "ад" у $dP$ мы опустили, так как приращение давления в элементе жидкости-такое же, что и приращение давления в окружающей жидкости.) Если $dz > 0$, т. е. элемент жидкости сместился действительно вверх, и $dv_{ад} > dv$, то сместившийся элемент окажется относительно более легким, чем окружающая жидкость. Он будет подниматься еще выше, и равновесие жидкости окажется неустойчивым. В противоположном случае, когда $dv_{ад} < dv$ давление окружающей жидкости вернет элемент в исходное положение, т. е. равновесие будет устойчивым. Воспользовавшись выражениями (1) и (2) и поделив неравенство на положительную величину $dz$, условие устойчивости равновесия можно записать в виде
$\left ( \frac{ \partial v}{ \partial T} \right )_{P} \left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} < \left ( \frac{ \partial v}{ \partial T} \right )_{P} \frac{ dT}{dz}$. (3)
Требование $dz > 0$, использованное при выводе, теперь можно снять, так как в неравенство (3) входят только производные $\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад}$ и $\frac{dT}{dz}$, значения которых от знака $dz$ не зависят. Для большинства тел температурный коэффициент расширения положителен, и вместо условия (3) можно написать более простое условие
$\frac{dT}{dz} > \left ( \frac{ dT}{dz} \right )_{ад}$. (4)
Для тел с отрицательным температурным коэффициентом расширения знак неравенства надо заменить на противоположный. Ниже предполагается, что имеет место первый случай.
Таким образом, чем больше температурный градиент $\frac{dT}{dz}$ тем более затруднена конвекция, тем устойчивее механическое равновесие жидкосш. Нижней границей $\frac{dT}{dz}$, при которой конвекция еще может отсутствовать, является "адиабатический температурный градиент" $\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад}$. Для его вычисления замечаем, что при адиабатическом процессе удельная энтропия s не меняется. Рассматривая ее как функцию $T$ и $P$, можем написать
$\left ( \frac{ds}{dz} \right )_{ад} = \left ( \frac{ \partial s}{ \partial T} \right )_{P} \left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} + \left ( \frac{ \partial s}{ \partial P} \right )_{T} \frac{dP}{dz} = 0$.
Воспользовавшись термодинамическими соотношениями $\left ( \frac{ds}{dT} \right )_{P} = \frac{c_{P}}{T}, \left ( \frac{ds}{dP} \right )_{T} = - \left ( \frac{dv}{dT} \right )_{P}$ и уравнением гидростатики $\frac{dP}{dz} = - \rho g = - \frac{g}{v}$, получим
$\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} = - \frac{ gT}{vc_{P}} \left ( \frac{ \partial v}{ \partial T} \right )_{P}$. (5)
Для воздуха, если его рассматривать как идеальный газ, объем $v$ пропорционален температуре $T$ (при $P = const$), а потому $\left ( \frac{d v}{dT} \right )_{P} = \frac{v}{T}$. Это дает
$\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} = - \frac{g}{c_{P}}$. (6)
С помощью второго начала термодинамики найти условие конвективной устойчивости неравномерно нагретой жидкости или реального газа в однородном поле тяжести. Теплопроводность жидкости или газа считать пренебрежимо малой. См. задачу 14064.
Решение:
В состоянии механического равновесия температура $T$, удельный объем $v$ и давление $P$ жидкости являются функциями только высоты $z$ над земной поверхностью. Пусть $dv, dT, dP$ означают бесконечно малые приращения $v, T, P$ в покоящейся жидкости при изменении высоты на $dz$. В силу уравнения состояния эти величины связаны соотношением
$dv = \left ( \frac{ \partial v}{ \partial T} \right )_{P} dT + \left ( \frac{ \partial v}{ \partial P} \right ) dP$. (1)
Допустим теперь, что под действием какого-то бесконечно малого возмущения элемент жидкости переместился feeepx на $dz$. Такое перемещение происходит в отсутствие теплообмена, т. е. адиабатически, а потому для него можно написать
$dv_{ад} = \left ( \frac{ \partial v}{ \partial T} \right )_{P} dT_{ад} + \left ( \frac{ \partial v }{ \partial P} \right )_{T} dP$. (2)
Здесь $dT_{ад}$ и $dP$ означают приращения температуры и давления внутри рассматриваемого элемента жидкости при адиабатическом поднятии его на высоту $dz$. (Значок "ад" у $dP$ мы опустили, так как приращение давления в элементе жидкости-такое же, что и приращение давления в окружающей жидкости.) Если $dz > 0$, т. е. элемент жидкости сместился действительно вверх, и $dv_{ад} > dv$, то сместившийся элемент окажется относительно более легким, чем окружающая жидкость. Он будет подниматься еще выше, и равновесие жидкости окажется неустойчивым. В противоположном случае, когда $dv_{ад} < dv$ давление окружающей жидкости вернет элемент в исходное положение, т. е. равновесие будет устойчивым. Воспользовавшись выражениями (1) и (2) и поделив неравенство на положительную величину $dz$, условие устойчивости равновесия можно записать в виде
$\left ( \frac{ \partial v}{ \partial T} \right )_{P} \left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} < \left ( \frac{ \partial v}{ \partial T} \right )_{P} \frac{ dT}{dz}$. (3)
Требование $dz > 0$, использованное при выводе, теперь можно снять, так как в неравенство (3) входят только производные $\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад}$ и $\frac{dT}{dz}$, значения которых от знака $dz$ не зависят. Для большинства тел температурный коэффициент расширения положителен, и вместо условия (3) можно написать более простое условие
$\frac{dT}{dz} > \left ( \frac{ dT}{dz} \right )_{ад}$. (4)
Для тел с отрицательным температурным коэффициентом расширения знак неравенства надо заменить на противоположный. Ниже предполагается, что имеет место первый случай.
Таким образом, чем больше температурный градиент $\frac{dT}{dz}$ тем более затруднена конвекция, тем устойчивее механическое равновесие жидкосш. Нижней границей $\frac{dT}{dz}$, при которой конвекция еще может отсутствовать, является "адиабатический температурный градиент" $\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад}$. Для его вычисления замечаем, что при адиабатическом процессе удельная энтропия s не меняется. Рассматривая ее как функцию $T$ и $P$, можем написать
$\left ( \frac{ds}{dz} \right )_{ад} = \left ( \frac{ \partial s}{ \partial T} \right )_{P} \left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} + \left ( \frac{ \partial s}{ \partial P} \right )_{T} \frac{dP}{dz} = 0$.
Воспользовавшись термодинамическими соотношениями $\left ( \frac{ds}{dT} \right )_{P} = \frac{c_{P}}{T}, \left ( \frac{ds}{dP} \right )_{T} = - \left ( \frac{dv}{dT} \right )_{P}$ и уравнением гидростатики $\frac{dP}{dz} = - \rho g = - \frac{g}{v}$, получим
$\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} = - \frac{ gT}{vc_{P}} \left ( \frac{ \partial v}{ \partial T} \right )_{P}$. (5)
Для воздуха, если его рассматривать как идеальный газ, объем $v$ пропорционален температуре $T$ (при $P = const$), а потому $\left ( \frac{d v}{dT} \right )_{P} = \frac{v}{T}$. Это дает
$\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} = - \frac{g}{c_{P}}$. (6)
