Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14076
2020-04-16 
Из опыта известно, что резиновый жгут удлиняется при охлаждении (если его натяжение остается постоянным). Пользуясь этим, доказать, что жгут нагреется, если его адиабатически растянуть.
Решение:
Пусть $l, \tau , T, S$ - длина, натяжение, температура и энтропия жгута. Из этих четырех величин независимы только две, остальные являются их функциями. Поэтому тождественно
$\left ( \frac{ \partial T }{ \partial l} \right )_{S} \left ( \frac{ \partial l}{ \partial S} \right )_{T} \left ( \frac{ \partial S}{ \partial T} \right )_{l} = -1$. (1)
Из первого начала, записанного в виде $d(U - TS) = - SdT + \tau dl$, следует
$\left ( \frac{ \partial S}{ \partial l} \right )_{T} = - \left ( \frac{ \partial \tau }{ \partial T} \right )_{l}$ или $\left ( \frac{ \partial l}{ \partial S} \right )_{T} = - \left ( \frac{ \partial T}{ \partial \tau } \right )_{l}$.
Далее, так как $T, \tau, l$ связаны функциональным соотношением, то тождественно
$\left ( \frac{ \partial l }{ \partial S} \right )_{T} = \left ( \frac{ \partial l}{ \partial \tau} \right )_{T} \left ( \frac{ \partial T}{ \partial l} \right )_{ \tau}$.
Подставляя это в (1), получим
$\frac{C_{l} }{T} \left ( \frac{ \partial T}{ \partial l} \right )_{S} \left ( \frac{ \partial l}{ \partial \tau} \right )_{T} \left ( \frac{ \partial T}{ \partial l} \right )_{ \tau } = - 1$,
где $C_{l} = T \left ( \frac{ \partial S}{ \partial T} \right )_{l}$ - теплоемкость при постоянной длине. Она положительна для всех тел: $C_{l} > 0$. Величина $\left ( \frac{ \partial l}{ \partial \tau } \right )_{T}$ также положительна для всех тел. Следовательно,
$\left ( \frac{ \partial T}{ \partial l} \right )_{S} \left ( \frac{ \partial T}{ \partial l} \right )_{ \tau} < 0$.
По условию задачи для резинового жгута $\left ( \frac{ \partial l}{ \partial T} \right )_{ \tau} < 0$, а поэтому $\left ( \frac{ \partial T}{ \partial l} \right )_{S} > 0$. Отсюда следует, что жгут нагреется, если его адиабатически удлинить.
Из опыта известно, что резиновый жгут удлиняется при охлаждении (если его натяжение остается постоянным). Пользуясь этим, доказать, что жгут нагреется, если его адиабатически растянуть.
Решение:
Пусть $l, \tau , T, S$ - длина, натяжение, температура и энтропия жгута. Из этих четырех величин независимы только две, остальные являются их функциями. Поэтому тождественно
$\left ( \frac{ \partial T }{ \partial l} \right )_{S} \left ( \frac{ \partial l}{ \partial S} \right )_{T} \left ( \frac{ \partial S}{ \partial T} \right )_{l} = -1$. (1)
Из первого начала, записанного в виде $d(U - TS) = - SdT + \tau dl$, следует
$\left ( \frac{ \partial S}{ \partial l} \right )_{T} = - \left ( \frac{ \partial \tau }{ \partial T} \right )_{l}$ или $\left ( \frac{ \partial l}{ \partial S} \right )_{T} = - \left ( \frac{ \partial T}{ \partial \tau } \right )_{l}$.
Далее, так как $T, \tau, l$ связаны функциональным соотношением, то тождественно
$\left ( \frac{ \partial l }{ \partial S} \right )_{T} = \left ( \frac{ \partial l}{ \partial \tau} \right )_{T} \left ( \frac{ \partial T}{ \partial l} \right )_{ \tau}$.
Подставляя это в (1), получим
$\frac{C_{l} }{T} \left ( \frac{ \partial T}{ \partial l} \right )_{S} \left ( \frac{ \partial l}{ \partial \tau} \right )_{T} \left ( \frac{ \partial T}{ \partial l} \right )_{ \tau } = - 1$,
где $C_{l} = T \left ( \frac{ \partial S}{ \partial T} \right )_{l}$ - теплоемкость при постоянной длине. Она положительна для всех тел: $C_{l} > 0$. Величина $\left ( \frac{ \partial l}{ \partial \tau } \right )_{T}$ также положительна для всех тел. Следовательно,
$\left ( \frac{ \partial T}{ \partial l} \right )_{S} \left ( \frac{ \partial T}{ \partial l} \right )_{ \tau} < 0$.
По условию задачи для резинового жгута $\left ( \frac{ \partial l}{ \partial T} \right )_{ \tau} < 0$, а поэтому $\left ( \frac{ \partial T}{ \partial l} \right )_{S} > 0$. Отсюда следует, что жгут нагреется, если его адиабатически удлинить.
