Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14068
2020-04-16 
Энтальпией или тепловой функцией физически однородного и изотропного вещества называется функция состояния, определяемая выражением $I = U + PV$. Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно и применив к нему теорему Карно, показать, что энтальпия $I$ и теплоемкость $C_{P}$ удовлетворяют соотношениям:
Решение:
Перепишем первое начало термодинамики $\delta Q = dU + PdV$ в виде $\delta Q = dI - VdP$. Затем возьмем на диаграмме $P, V$ (рис.) две бесконечно близкие изотермы 12 и 34 и две бесконечно близкие адиабаты 23 к 41 к применим к циклу 1234 теорему Карно. Тепло $Q_{1}$, полученное системой на изотерме 12, равно
$Q_{1} = I_{2} - I_{1} - V(P_{2} - P_{1} )$.
Так как изменение энтальпии $I_{2} - I_{1}$ происходит по изотерме, то
$Q_{1} = \left [ \left ( \frac{ \partial I}{ \partial P} \right )_{T} - V \right ] (P_{2} - P_{1})$.
Работа цикла $A$ изобразится площадью 1234. С точностью до бесконечно малых высшего порядка фигура 1234 может считаться параллелограммом. Площадь этого параллелограмма равна площади параллелограмма 1256. Последняя в свою очередь равна длине основания 61 у умноженной на высоту $(V_{2} - V_{1})$. Поскольку точкам 1 и 6 соответствуют одинаковые объемы, но разные температуры, длина основания 61 равна $\frac{ \partial P}{ \partial T_{V}} (T_{1} - T_{2})$. Поэтому для работы цикла получаем
$A = \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{V} (T_{1} - T{2} )(V_{2} - V_{1} )$,
или, воспользовавшись тождеством $ \left ( \frac{ \partial P }{ \partial T} \right )_{V} = - \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{P} \left ( \frac{ \partial P }{ \partial V} \right )_{T} $:
$A = - \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{P} (T_{1} - T_{2})(P_{2} - P_{1} )$.
По теореме Карно $\frac{A}{Q_{1}} = \frac{T{1} - T_{2}}{T_{1}}$. Подставляя сюда значения для $A$ и $Q_{1}$, получим первую из доказываемых формул. Вторая получается из первой дифференцированием по $P$, так как $C_{P} = \left ( \frac{ \partial I}{ \partial T } \right )_{P}$.
Энтальпией или тепловой функцией физически однородного и изотропного вещества называется функция состояния, определяемая выражением $I = U + PV$. Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно и применив к нему теорему Карно, показать, что энтальпия $I$ и теплоемкость $C_{P}$ удовлетворяют соотношениям:
Решение:
Перепишем первое начало термодинамики $\delta Q = dU + PdV$ в виде $\delta Q = dI - VdP$. Затем возьмем на диаграмме $P, V$ (рис.) две бесконечно близкие изотермы 12 и 34 и две бесконечно близкие адиабаты 23 к 41 к применим к циклу 1234 теорему Карно. Тепло $Q_{1}$, полученное системой на изотерме 12, равно
$Q_{1} = I_{2} - I_{1} - V(P_{2} - P_{1} )$.
Так как изменение энтальпии $I_{2} - I_{1}$ происходит по изотерме, то
$Q_{1} = \left [ \left ( \frac{ \partial I}{ \partial P} \right )_{T} - V \right ] (P_{2} - P_{1})$.
Работа цикла $A$ изобразится площадью 1234. С точностью до бесконечно малых высшего порядка фигура 1234 может считаться параллелограммом. Площадь этого параллелограмма равна площади параллелограмма 1256. Последняя в свою очередь равна длине основания 61 у умноженной на высоту $(V_{2} - V_{1})$. Поскольку точкам 1 и 6 соответствуют одинаковые объемы, но разные температуры, длина основания 61 равна $\frac{ \partial P}{ \partial T_{V}} (T_{1} - T_{2})$. Поэтому для работы цикла получаем
$A = \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{V} (T_{1} - T{2} )(V_{2} - V_{1} )$,
или, воспользовавшись тождеством $ \left ( \frac{ \partial P }{ \partial T} \right )_{V} = - \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{P} \left ( \frac{ \partial P }{ \partial V} \right )_{T} $:
$A = - \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{P} (T_{1} - T_{2})(P_{2} - P_{1} )$.
По теореме Карно $\frac{A}{Q_{1}} = \frac{T{1} - T_{2}}{T_{1}}$. Подставляя сюда значения для $A$ и $Q_{1}$, получим первую из доказываемых формул. Вторая получается из первой дифференцированием по $P$, так как $C_{P} = \left ( \frac{ \partial I}{ \partial T } \right )_{P}$.
