Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14067
2020-04-16 
Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно и воспользовавшись теоремой Карно, доказать, что внутренняя энергия и теплоемкость физически однородного и изотропного тела удовлетворяют соотношениям:
$\left ( \frac{ \partial U}{ \partial V} \right )_{T} = T \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{V} - P, \left ( \frac{ \partial C_{V} }{ \partial V} \right )_{T} = T \left ( \frac{ \partial^{2} P }{ \partial T^{2} } \right )_{V}$, (1)
С помощью этих соотношений и уравнения состояния для идеальных газов доказать, что внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа зависят только от температуры, но не от объема, занимаемого данной массой газа.
Решение:
Возьмем на диаграмме $P, V$ (рис.) две близкие изотермы 12 и 34 к две бесконечно близкие адиабаты 23 и 41 и применим к циклу 1234 теорему Карно. Тепло $Q_{1}$, полученное системой на изотерме 12, равно $Q_{1} = A_{1} + \Delta U$, где $A_{1} = P \Delta V$ - работа, совершенная системой на изотерме 12, а $\Delta U = \left ( \frac{ \partial U}{ \partial V} \right )_{T} dV$ - изменение внутренней энергии на той же изотерме. Работа цикла изобразится площадью 1234. С точностью до величин высшего порядка малости при вычислении этой площади фигуру 1234 параллелограммом. Его площадь, очевидно, равна площади параллелограмма 1256, т.е. $A = \Delta P \cdot \Delta V = \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{V} \Delta T \Delta V$, где $\Delta T = T_{1} - T_{2}$. По теореме Карно $\frac{A}{Q_{1}} = \frac{ \Delta T}{T_{1}}$. Подставляя сюда выражения для $A$ и $Q_{1}$, получим первую из формул, которые надо доказать. Вторая формула получается из первой дифференцированием по $T$ при постоянном $V$.
Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно и воспользовавшись теоремой Карно, доказать, что внутренняя энергия и теплоемкость физически однородного и изотропного тела удовлетворяют соотношениям:
$\left ( \frac{ \partial U}{ \partial V} \right )_{T} = T \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{V} - P, \left ( \frac{ \partial C_{V} }{ \partial V} \right )_{T} = T \left ( \frac{ \partial^{2} P }{ \partial T^{2} } \right )_{V}$, (1)
С помощью этих соотношений и уравнения состояния для идеальных газов доказать, что внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа зависят только от температуры, но не от объема, занимаемого данной массой газа.
Решение:
Возьмем на диаграмме $P, V$ (рис.) две близкие изотермы 12 и 34 к две бесконечно близкие адиабаты 23 и 41 и применим к циклу 1234 теорему Карно. Тепло $Q_{1}$, полученное системой на изотерме 12, равно $Q_{1} = A_{1} + \Delta U$, где $A_{1} = P \Delta V$ - работа, совершенная системой на изотерме 12, а $\Delta U = \left ( \frac{ \partial U}{ \partial V} \right )_{T} dV$ - изменение внутренней энергии на той же изотерме. Работа цикла изобразится площадью 1234. С точностью до величин высшего порядка малости при вычислении этой площади фигуру 1234 параллелограммом. Его площадь, очевидно, равна площади параллелограмма 1256, т.е. $A = \Delta P \cdot \Delta V = \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{V} \Delta T \Delta V$, где $\Delta T = T_{1} - T_{2}$. По теореме Карно $\frac{A}{Q_{1}} = \frac{ \Delta T}{T_{1}}$. Подставляя сюда выражения для $A$ и $Q_{1}$, получим первую из формул, которые надо доказать. Вторая формула получается из первой дифференцированием по $T$ при постоянном $V$.
