Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14064
2020-04-16 
Земная атмосфера нагревается в основном от контакта с земной поверхностью, поглощающей энергию солнечного излучения. Если температура воздуха достаточно быстро убывает с высотой, то нагретые массы воздуха будут подниматься вверх, адиабатически расширяясь и охлаждаясь при этом. Это приводит к конвекции и связанному с ней нарушению механической устойчивости атмосферы. Каково должно быть максимальное значение температурного градиента атмосферного воздуха, чтобы он мог находиться в устойчивом механическом равновесии? Влияние влажности воздуха не учитывать. Абсолютную температуру воздуха у земной поверхности принять равной $T = 273 К$.
Решение:
При механическом равновесии температура $T$, плотность $\rho$ и давление воздуха $P$ зависят только от высоты $z$ над земной поверхностью, причем $P = C \rho T$, где $C$ от $z$ не зависит. Поэтому при изменении $z$
$\frac{dP}{P} = \frac{d \rho}{ \rho} + \frac{dT}{T}$,
откуда для равновесной плотности на высоте $z + dz$ находим
$\rho (z + dz) = \rho (z) + d \rho = \rho + \frac{ \rho}{P} dP - \rho \frac{dT}{T}$. (1)
Допустим теперь, что в силу каких-либо случайных возмущений некоторая малая масса воздуха переместилась с высоты $z$ на высоту $z+dz$. Давление внутри переместившейся массы будет равно давлению окружающего воздуха, а следовательно, ее плотность изменится. Так как теплопроводность воздуха мала, то процесс может считаться адиабатическим, и следовательно, $P = const \cdot \rho^{ \gamma}$. Отсюда для изменения плотности $d \rho^{*}$ переместившейся массы находим:
$\frac{dP}{P} = \gamma \frac{d \rho^{*} }{ \rho}$,
а для самой плотности
$\rho^{*} (z + dz) = \rho (z) + d \rho^{*} = \rho + \frac{1}{ \gamma} \frac{ \rho}{P} dP$. (2)
Допустим, что $dz > 0$ и $\rho^{*}(z+dz) > \rho (z+dz)$. Тогда сместившаяся масса воздуха, поскольку она тяжелее окружающего воздуха, вернется в исходное положение, т. е. равновесие будет устойчивым. При $dz > 0$ и $\rho^{*}(z+dz) < \rho (z+dz)$ оно будет неустойчивым. Таким образом, из (1) и (2) находим условие устойчивости
$\frac{1}{ \gamma} \frac{ \rho}{P} dP \geq \frac{ \rho}{P} dP - \rho \frac{dT}{T}$ при $dz > 0$. (3)
При механическом равновесии
$\frac{dP}{dz} = - \rho g$. (4)
Исключая $dP$, находим
$\frac{dT}{dz} \geq - \frac{T}{P} \frac{ \gamma - 1}{ \gamma} \rho g = - \frac{g}{c_{P} } \approx - 0,01 К/м$, (5)
где $c_{P}$ - удельная теплоемкость при постоянном давлении. Знаку равенства соответствует безразличное равновесие. Соответствующее ему расслоение атмосферы называется адиабатическим. Считая воздух двухатомным газом, имеем по классической теории теплоемкостей $c_{P} = \frac{7}{2} \frac{R}{ \mu}$, где $\mu$ - средняя относительная молекулярная масса воздуха ($\mu \approx 28,8$). Подстановка численных значений дает
$\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} = - \frac{2 \mu g}{7R} = - 9,7 \cdot 10^{-5} К/см \approx - 10^{-2} К/м$.
Если температура воздуха повышается с высотой, то атмосфера в механическом отношении устойчива. Но устойчивое равновесие возможно и тогда, когда с высотой температура воздуха понижается. Однако это понижение не может превосходить примерно одного градуса на каждые сто метров высоты.
Земная атмосфера нагревается в основном от контакта с земной поверхностью, поглощающей энергию солнечного излучения. Если температура воздуха достаточно быстро убывает с высотой, то нагретые массы воздуха будут подниматься вверх, адиабатически расширяясь и охлаждаясь при этом. Это приводит к конвекции и связанному с ней нарушению механической устойчивости атмосферы. Каково должно быть максимальное значение температурного градиента атмосферного воздуха, чтобы он мог находиться в устойчивом механическом равновесии? Влияние влажности воздуха не учитывать. Абсолютную температуру воздуха у земной поверхности принять равной $T = 273 К$.
Решение:
При механическом равновесии температура $T$, плотность $\rho$ и давление воздуха $P$ зависят только от высоты $z$ над земной поверхностью, причем $P = C \rho T$, где $C$ от $z$ не зависит. Поэтому при изменении $z$
$\frac{dP}{P} = \frac{d \rho}{ \rho} + \frac{dT}{T}$,
откуда для равновесной плотности на высоте $z + dz$ находим
$\rho (z + dz) = \rho (z) + d \rho = \rho + \frac{ \rho}{P} dP - \rho \frac{dT}{T}$. (1)
Допустим теперь, что в силу каких-либо случайных возмущений некоторая малая масса воздуха переместилась с высоты $z$ на высоту $z+dz$. Давление внутри переместившейся массы будет равно давлению окружающего воздуха, а следовательно, ее плотность изменится. Так как теплопроводность воздуха мала, то процесс может считаться адиабатическим, и следовательно, $P = const \cdot \rho^{ \gamma}$. Отсюда для изменения плотности $d \rho^{*}$ переместившейся массы находим:
$\frac{dP}{P} = \gamma \frac{d \rho^{*} }{ \rho}$,
а для самой плотности
$\rho^{*} (z + dz) = \rho (z) + d \rho^{*} = \rho + \frac{1}{ \gamma} \frac{ \rho}{P} dP$. (2)
Допустим, что $dz > 0$ и $\rho^{*}(z+dz) > \rho (z+dz)$. Тогда сместившаяся масса воздуха, поскольку она тяжелее окружающего воздуха, вернется в исходное положение, т. е. равновесие будет устойчивым. При $dz > 0$ и $\rho^{*}(z+dz) < \rho (z+dz)$ оно будет неустойчивым. Таким образом, из (1) и (2) находим условие устойчивости
$\frac{1}{ \gamma} \frac{ \rho}{P} dP \geq \frac{ \rho}{P} dP - \rho \frac{dT}{T}$ при $dz > 0$. (3)
При механическом равновесии
$\frac{dP}{dz} = - \rho g$. (4)
Исключая $dP$, находим
$\frac{dT}{dz} \geq - \frac{T}{P} \frac{ \gamma - 1}{ \gamma} \rho g = - \frac{g}{c_{P} } \approx - 0,01 К/м$, (5)
где $c_{P}$ - удельная теплоемкость при постоянном давлении. Знаку равенства соответствует безразличное равновесие. Соответствующее ему расслоение атмосферы называется адиабатическим. Считая воздух двухатомным газом, имеем по классической теории теплоемкостей $c_{P} = \frac{7}{2} \frac{R}{ \mu}$, где $\mu$ - средняя относительная молекулярная масса воздуха ($\mu \approx 28,8$). Подстановка численных значений дает
$\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} = - \frac{2 \mu g}{7R} = - 9,7 \cdot 10^{-5} К/см \approx - 10^{-2} К/м$.
Если температура воздуха повышается с высотой, то атмосфера в механическом отношении устойчива. Но устойчивое равновесие возможно и тогда, когда с высотой температура воздуха понижается. Однако это понижение не может превосходить примерно одного градуса на каждые сто метров высоты.
