Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14063
2020-04-16 
Двухступенчатый компрессор адиабатически и квазистатически сжимает некоторое количество идеального газа, теплоемкости которого $C_{P}$ и $C_{V}$ не зависят от температуры. Сначала газ сжимается от давления $P_{0}$ до промежуточного давления $P_{1}$. Затем сжатый газ при постоянном давлении $P_{1}$ охлаждается до начальной температуры $T_{0}$. Наконец, газ сжимается до окончательного давления $P_{2}$. При каком значении промежуточного давления $P_{1}$ полная работа компрессора минимальна и чему она равна? Давления $P_{0}$ и $P_{1}$, а также начальный объем газа $V_{0}$ считаются заданными. Как связана минимальная работа $A_{min}$ с работой $A_{1}$, которую надо было бы затратить на сжатие газа до того же давления $P_{2}$, применяя одноступенчатый компрессор? Найти эту связь для гелия и воздуха, если $P_{0} = 1 атм, P_{2} =200 атм$.
Решение:
Рассмотрим четыре состояния газа:
1) $P_{0}, V_{0}, T_{0}$, 2) $P_{1}, V, T$,
3) $P_{1}, V_{1}, T_{0}$, 4) $P_{2}, V_{2}, T_{2}$.
Из первого состояния во второе, а также из третьего в четвертое газ переходит адиабатическим сжатием, а потому
$P_{0}V_{0}^{ \gamma} = P_{1}V^{ \gamma}, P_{1}V_{1}^{ \gamma} = P_{2}V_{2}^{ \gamma}$.
В первом и третьем состояниях температуры газа одинаковы. Следовательно, $P_{0}V_{0} = P_{1}V_{1}$. Работа двухступенчатого компрессора
$A = \frac{P_{0}V_{0} }{ \gamma - 1} \left \{ \left ( \frac{P_{0} }{P_{1} } \right )^{ \frac{1 - \gamma }{ \gamma } } + \left ( \frac{P_{1} }{P_{2} } \right )^{ \frac{1 - \gamma}{2} } \right \}$.
Она имеет минимум при $P = \sqrt{P_{0}P_{2}}$. Минимальная работа:
$A_{min} = \frac{2P_{0}V_{0}}{ \gamma - 1} \left \{ \left ( \frac{P_{2} }{P_{0} } \right )^{ \frac{ \gamma - 1}{2 \gamma } } - 1 \right \}$.
Работа одноступенчатого компрессора при тех же начальном и конечном давлениях:
$A_{1} = \frac{P_{0}V_{0} }{ \gamma - 1} \left \{ \left ( \frac{P_{2} }{P_{0} } \right )^{ \gamma - 1} - 1 \right \}$.
Следовательно,
$A_{min} = 2A_{1} \left \{ \left ( \frac{P_{2} }{P_{0} } \right )^{ \frac{ \gamma - 1}{2 \gamma } } + 1 \right \}^{-1} $.
Для гелия $\gamma = \frac{5}{3}, A_{min} = 0,515A_{1}$; для воздуха $\gamma = \frac{7}{5}, A_{min} = 0,64A_{1}$.
Двухступенчатый компрессор адиабатически и квазистатически сжимает некоторое количество идеального газа, теплоемкости которого $C_{P}$ и $C_{V}$ не зависят от температуры. Сначала газ сжимается от давления $P_{0}$ до промежуточного давления $P_{1}$. Затем сжатый газ при постоянном давлении $P_{1}$ охлаждается до начальной температуры $T_{0}$. Наконец, газ сжимается до окончательного давления $P_{2}$. При каком значении промежуточного давления $P_{1}$ полная работа компрессора минимальна и чему она равна? Давления $P_{0}$ и $P_{1}$, а также начальный объем газа $V_{0}$ считаются заданными. Как связана минимальная работа $A_{min}$ с работой $A_{1}$, которую надо было бы затратить на сжатие газа до того же давления $P_{2}$, применяя одноступенчатый компрессор? Найти эту связь для гелия и воздуха, если $P_{0} = 1 атм, P_{2} =200 атм$.
Решение:
Рассмотрим четыре состояния газа:
1) $P_{0}, V_{0}, T_{0}$, 2) $P_{1}, V, T$,
3) $P_{1}, V_{1}, T_{0}$, 4) $P_{2}, V_{2}, T_{2}$.
Из первого состояния во второе, а также из третьего в четвертое газ переходит адиабатическим сжатием, а потому
$P_{0}V_{0}^{ \gamma} = P_{1}V^{ \gamma}, P_{1}V_{1}^{ \gamma} = P_{2}V_{2}^{ \gamma}$.
В первом и третьем состояниях температуры газа одинаковы. Следовательно, $P_{0}V_{0} = P_{1}V_{1}$. Работа двухступенчатого компрессора
$A = \frac{P_{0}V_{0} }{ \gamma - 1} \left \{ \left ( \frac{P_{0} }{P_{1} } \right )^{ \frac{1 - \gamma }{ \gamma } } + \left ( \frac{P_{1} }{P_{2} } \right )^{ \frac{1 - \gamma}{2} } \right \}$.
Она имеет минимум при $P = \sqrt{P_{0}P_{2}}$. Минимальная работа:
$A_{min} = \frac{2P_{0}V_{0}}{ \gamma - 1} \left \{ \left ( \frac{P_{2} }{P_{0} } \right )^{ \frac{ \gamma - 1}{2 \gamma } } - 1 \right \}$.
Работа одноступенчатого компрессора при тех же начальном и конечном давлениях:
$A_{1} = \frac{P_{0}V_{0} }{ \gamma - 1} \left \{ \left ( \frac{P_{2} }{P_{0} } \right )^{ \gamma - 1} - 1 \right \}$.
Следовательно,
$A_{min} = 2A_{1} \left \{ \left ( \frac{P_{2} }{P_{0} } \right )^{ \frac{ \gamma - 1}{2 \gamma } } + 1 \right \}^{-1} $.
Для гелия $\gamma = \frac{5}{3}, A_{min} = 0,515A_{1}$; для воздуха $\gamma = \frac{7}{5}, A_{min} = 0,64A_{1}$.
