Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14061
2020-04-16 
Боковые стенки цилиндра АС и BD, его крышка CD и поршень MN сделаны из материала, не проводящего тепло (рис.). Дно АВ проводит тепло. Поршень MN может двигаться в цилиндре без трения. Сверху и снизу поршня находится по одному молю одного и того же идеального газа с молярной теплоемкостью при постоянном объеме $C_{V}$ и показателем адиабаты $\gamma$. Первый газ в нижней части цилиндра квазистатически нагревают (или охлаждают), вследствие чего поршень MN перемещается. Выразить теплоемкость первого газа $C_{1}$ при таком процессе через объемы газов $V_{1}$ и $V_{2}$. Чему равна при этом теплоемкость второго газа $C_{2}$?
Решение:
Элементарное количество тепла, получаемое первым газом, $dQ_{1} = C_{V}dT_{1} + P_{1}dV_{1} = C_{V} dT_{1} + RT_{1} \frac{dV_{1}}{V_{1}}$, а вторым - $\delta Q_{2} = 0$. Поэтому $C_{2} = 0$ и $C_{V}dT_{2} + RT_{2} \frac{dV_{2}}{V_{2}} = 0$. Из равенства давлений $P_{1}$ и $P_{2}$ следует $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{T_{1} }{T_{2} }$, откуда $\frac{dV_{1}}{V_{1}} + \frac{dV_{2}}{V_{2}} = \frac{dT_{1}}{T_{1}} - \frac{dT_{2}}{T_{2}}$. А так как объем системы $V_{1} + V_{2}$ во время процесса не изменяется, то $dV_{1} + dV_{2} = 0$. Исключая $dV_{2}$ и $dT_{2}$, получим
$\left ( \frac{1}{V_{1} } + \frac{1}{V_{2} } + \frac{R}{C_{V} } \frac{1}{V_{2} } \right ) dV_{1} = \frac{dT_{1} }{T_{1} }$.
Используя также соотношение $C_{P} - C_{V} = R$, находим
$\delta Q_{1} = \left ( C_{V} + R \frac{V_{2} }{V_{2} + \gamma V_{1} } \right ) dT_{1}$.
Следовательно,
$C_{1} = C_{V} + \frac{V_{2} }{V_{2} + \gamma V_{1} } R = \frac{V_{1} + V_{2} }{V_{2} + \gamma V_{1} } \gamma C_{V}$.
При $V_{1} = V_{2}$
$C_{1} = \frac{2 \gamma C_{V} }{ \gamma + 1}$.
Боковые стенки цилиндра АС и BD, его крышка CD и поршень MN сделаны из материала, не проводящего тепло (рис.). Дно АВ проводит тепло. Поршень MN может двигаться в цилиндре без трения. Сверху и снизу поршня находится по одному молю одного и того же идеального газа с молярной теплоемкостью при постоянном объеме $C_{V}$ и показателем адиабаты $\gamma$. Первый газ в нижней части цилиндра квазистатически нагревают (или охлаждают), вследствие чего поршень MN перемещается. Выразить теплоемкость первого газа $C_{1}$ при таком процессе через объемы газов $V_{1}$ и $V_{2}$. Чему равна при этом теплоемкость второго газа $C_{2}$?
Решение:
Элементарное количество тепла, получаемое первым газом, $dQ_{1} = C_{V}dT_{1} + P_{1}dV_{1} = C_{V} dT_{1} + RT_{1} \frac{dV_{1}}{V_{1}}$, а вторым - $\delta Q_{2} = 0$. Поэтому $C_{2} = 0$ и $C_{V}dT_{2} + RT_{2} \frac{dV_{2}}{V_{2}} = 0$. Из равенства давлений $P_{1}$ и $P_{2}$ следует $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{T_{1} }{T_{2} }$, откуда $\frac{dV_{1}}{V_{1}} + \frac{dV_{2}}{V_{2}} = \frac{dT_{1}}{T_{1}} - \frac{dT_{2}}{T_{2}}$. А так как объем системы $V_{1} + V_{2}$ во время процесса не изменяется, то $dV_{1} + dV_{2} = 0$. Исключая $dV_{2}$ и $dT_{2}$, получим
$\left ( \frac{1}{V_{1} } + \frac{1}{V_{2} } + \frac{R}{C_{V} } \frac{1}{V_{2} } \right ) dV_{1} = \frac{dT_{1} }{T_{1} }$.
Используя также соотношение $C_{P} - C_{V} = R$, находим
$\delta Q_{1} = \left ( C_{V} + R \frac{V_{2} }{V_{2} + \gamma V_{1} } \right ) dT_{1}$.
Следовательно,
$C_{1} = C_{V} + \frac{V_{2} }{V_{2} + \gamma V_{1} } R = \frac{V_{1} + V_{2} }{V_{2} + \gamma V_{1} } \gamma C_{V}$.
При $V_{1} = V_{2}$
$C_{1} = \frac{2 \gamma C_{V} }{ \gamma + 1}$.
