Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14060
2020-04-16 
Показать, что результирующая всех сил давления идеального газа на стенки вертикального закрытого цилиндрического сосуда, в котором заключен газ, при любой длине цилиндра тогда и только тогда равна весу газа, когда плотность газа определяется барометрической формулой
$\rho = \rho_{0} e^{ - \frac{ \mu}{RT} gx}$, (1)
где $\mu$ - относительная молекулярная масса газа, $R$ - газовая постоянная, $T$ - температура и $g$ - ускорение свободного падения. Температура газа предполагается одинаковой во всем цилиндре, а газ находится в равновесии.
Решение:
Не нарушая общности, можно предположить, что площадь поперечного сечения цилиндра равна единице. Начало координат поместим на дне цилиндра, а ось $X$ направим вертикально вверх. Прежде всего, если газ находится в равновесии, то давление $P$ может зависеть только от $x$. В противном случае существовала бы горизонтальная слагающая градиента давления газа, которая не уравновешивалась бы внешними силами, в результате чего в газе возникло бы движение. Если давление на дно цилиндра равно $P_{0}$, а на крышку - $P$, то по условию задачи требуется
$P_{0} - P = \int_{0}^{x} g \rho dx$,
и это равенство должно соблюдаться, каково бы ни было $x$. Путем дифференцирования находим:
$\frac{ \partial P}{ \partial x} = - g \rho$.
Подставляя сюда $P = \frac{RT}{ \mu} \rho$ и интегрируя, получим барометрическую формулу.
Показать, что результирующая всех сил давления идеального газа на стенки вертикального закрытого цилиндрического сосуда, в котором заключен газ, при любой длине цилиндра тогда и только тогда равна весу газа, когда плотность газа определяется барометрической формулой
$\rho = \rho_{0} e^{ - \frac{ \mu}{RT} gx}$, (1)
где $\mu$ - относительная молекулярная масса газа, $R$ - газовая постоянная, $T$ - температура и $g$ - ускорение свободного падения. Температура газа предполагается одинаковой во всем цилиндре, а газ находится в равновесии.
Решение:
Не нарушая общности, можно предположить, что площадь поперечного сечения цилиндра равна единице. Начало координат поместим на дне цилиндра, а ось $X$ направим вертикально вверх. Прежде всего, если газ находится в равновесии, то давление $P$ может зависеть только от $x$. В противном случае существовала бы горизонтальная слагающая градиента давления газа, которая не уравновешивалась бы внешними силами, в результате чего в газе возникло бы движение. Если давление на дно цилиндра равно $P_{0}$, а на крышку - $P$, то по условию задачи требуется
$P_{0} - P = \int_{0}^{x} g \rho dx$,
и это равенство должно соблюдаться, каково бы ни было $x$. Путем дифференцирования находим:
$\frac{ \partial P}{ \partial x} = - g \rho$.
Подставляя сюда $P = \frac{RT}{ \mu} \rho$ и интегрируя, получим барометрическую формулу.
