2016-11-20
Тяжелый стержень согнут посередине под прямым углом и подвешен свободно за один из концов. Какой угол с вертикалью образует верхняя половина стержня?
Решение:
Запишем условие равновесия стержня относительно точки подвеса О:
$\sum M_{i} = 0$. (1)
Сила со стороны опоры подвеса дает нулевой момент относительно О, так как проходит через эту точку.
Остается момент, создаваемый силой тяжести, который в силу (1) так же должен быть равен нулю.
При подсчете момента силы тяжести мы вправе приложить эту силу к центру масс стержня Чтобы момент силы тяжести был равен нулю, необходимо, чтобы продолжение линии действия силы тяжести проходило через центр масс стержня А (только в этом случае плечо силы, а вместе с ним и момент силы равны нулю). Следовательно,
центр масс и точка подвеса должны находиться на одной вертикали. Этот результат, очевидно, справедлив для тела любой формы и нередко используется для решения задач статики.
Чтобы найти центр масс согнутого стержня, воспользуемся утверждениями 1 и 2 введения к разделу, рассматривая фигуру как два одинаковых стержня, соединенных под прямым углом. Нетрудно убедиться, что центр масс лежит на середине средней линии треугольника СК.
Поскольку $OB = 2AB, tg \beta = \frac{1}{2}$, откуда:
$\alpha = \frac{ \pi}{4} - arctg \frac{1}{2}$.
Еще раз обратим внимание на полученный в задаче общий результат. Он справедлив не только для тела произвольной формы, подвешенного в одной точке, но и тела, стоящего, например, на подставке и касающегося ее в одной точке («Ванька-встанька» и т. п.).
Отметим, наконец, что указанное в задаче условие свободного подвеса означает: других сил, создающих момент относительно точки подвеса, нет.