Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14057
2020-04-16 
Компенсационный маятник состоит из длинной тонкой никелевой трубки пренебрежимо малой массы, небольшая часть объема которой заполнена ртутью. Коэффициент линейного расширения никеля $\beta = 1,0 \cdot 10^{-5} ~^{ \circ} С^{-1}$, коэффициент объемного расширения ртути $\alpha = 18,0 \cdot 10^{-5} С^{-1}$. Какую часть объема трубки следует заполнить ртутью, чтобы период колебаний маятника не изменялся с изменением температуры? Для простоты сначала рассматривать маятник как математический, т, е. считать, что центр качаний его совпадает с центром масс ртути. Затем учесть несовпадение центра качания с центром масс ртути.
Решение:
Расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника $a = l \left ( 1 - \frac{x}{2} \right )$, где $l$-длина никелевой трубки.
Будем приближенно рассматривать маятник как математический. Компенсация теплового расширения сводится тогда к требованию, чтобы величина $a$ не изменялась с изменением температуры, т. е. $\frac{da}{dl} = 0$, или
$2 \left ( 1 - \frac{x}{2} \right ) - l \frac{dx}{dl} = 0$.
Найдем $\frac{dx}{dl}$. Длина никелевой трубки $l = l_{0}(1 + \beta t)$, ее внутренний объем $V = V_{0}(1 + 3 \beta t)$, объем ртути $v = v_{0} (1 + \alpha t)$. Часть объема трубки, занятая ртутью, равна $x = \frac{v}{V} = x_{0} [1 + ( \alpha - 3 \beta ) t]$, где $x_{0} = \frac{v_{0}}{V_{0}}$ - значение дроби $x$ при $t = 0^{ \circ} С$. Отсюда находим
$dx = x_{0} ( \alpha - З \beta ) dt \approx x (\alpha - З \beta ) dt, dl = l_{0} \beta dt \approx l \beta dt$,
т. е.
$\frac{dx}{dt} = \frac{x}{l} \left ( \frac{ \alpha }{ \beta} - 3 \right )$.
Условие компенсации принимает вид
$\left ( 1 - \frac{x}{2} \right ) - \frac{x}{2} \left ( \frac{ \alpha}{ \beta} - 3 \right ) = 0$,
откуда
$x = \frac{2}{ \frac{ \alpha}{ \beta} - 3 } = \frac{1}{8}$.
Учтем теперь несовпадение центра качания с центром масс маятника. Используя известную формулу для приведенной длины $L$ физического маятника, нетрудно получить
$L = \frac{2}{3} \frac{3 - 3x + x^{2} }{2 - x}l$.
Надо потребовать, чтобы эта величина не изменялась с изменением температуры, т. е. $\frac{dL}{dx} = 0$. Рассуждая, как выше, приходим к уравнению
$(x^{3} - 5x^{2} + 9x - 6) + \left ( \frac{ \alpha}{ \beta} - 3 \right ) (x^{2} - 4x + 3) = 0$,
или после подстановки численного значения $\frac{ \alpha}{ \beta} = 18$:
$16x^{3} - 65x^{2} + 54x - 6 = 0$.
Для отыскания нужного корня этого кубического уравнения полагаем $x = \frac{1}{8} + \delta$, где $\delta$ - малая поправка. Подставляя это выражение в предыдущее уравнение и отбрасывая кубы и квадраты поправки $\delta$, получаем для нее линейное уравнение, из которого находим $\delta = 0,006$. Следовательно,
$x = 0,125 + 0,006 = 0,131$.
Компенсационный маятник состоит из длинной тонкой никелевой трубки пренебрежимо малой массы, небольшая часть объема которой заполнена ртутью. Коэффициент линейного расширения никеля $\beta = 1,0 \cdot 10^{-5} ~^{ \circ} С^{-1}$, коэффициент объемного расширения ртути $\alpha = 18,0 \cdot 10^{-5} С^{-1}$. Какую часть объема трубки следует заполнить ртутью, чтобы период колебаний маятника не изменялся с изменением температуры? Для простоты сначала рассматривать маятник как математический, т, е. считать, что центр качаний его совпадает с центром масс ртути. Затем учесть несовпадение центра качания с центром масс ртути.
Решение:
Расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника $a = l \left ( 1 - \frac{x}{2} \right )$, где $l$-длина никелевой трубки.
Будем приближенно рассматривать маятник как математический. Компенсация теплового расширения сводится тогда к требованию, чтобы величина $a$ не изменялась с изменением температуры, т. е. $\frac{da}{dl} = 0$, или
$2 \left ( 1 - \frac{x}{2} \right ) - l \frac{dx}{dl} = 0$.
Найдем $\frac{dx}{dl}$. Длина никелевой трубки $l = l_{0}(1 + \beta t)$, ее внутренний объем $V = V_{0}(1 + 3 \beta t)$, объем ртути $v = v_{0} (1 + \alpha t)$. Часть объема трубки, занятая ртутью, равна $x = \frac{v}{V} = x_{0} [1 + ( \alpha - 3 \beta ) t]$, где $x_{0} = \frac{v_{0}}{V_{0}}$ - значение дроби $x$ при $t = 0^{ \circ} С$. Отсюда находим
$dx = x_{0} ( \alpha - З \beta ) dt \approx x (\alpha - З \beta ) dt, dl = l_{0} \beta dt \approx l \beta dt$,
т. е.
$\frac{dx}{dt} = \frac{x}{l} \left ( \frac{ \alpha }{ \beta} - 3 \right )$.
Условие компенсации принимает вид
$\left ( 1 - \frac{x}{2} \right ) - \frac{x}{2} \left ( \frac{ \alpha}{ \beta} - 3 \right ) = 0$,
откуда
$x = \frac{2}{ \frac{ \alpha}{ \beta} - 3 } = \frac{1}{8}$.
Учтем теперь несовпадение центра качания с центром масс маятника. Используя известную формулу для приведенной длины $L$ физического маятника, нетрудно получить
$L = \frac{2}{3} \frac{3 - 3x + x^{2} }{2 - x}l$.
Надо потребовать, чтобы эта величина не изменялась с изменением температуры, т. е. $\frac{dL}{dx} = 0$. Рассуждая, как выше, приходим к уравнению
$(x^{3} - 5x^{2} + 9x - 6) + \left ( \frac{ \alpha}{ \beta} - 3 \right ) (x^{2} - 4x + 3) = 0$,
или после подстановки численного значения $\frac{ \alpha}{ \beta} = 18$:
$16x^{3} - 65x^{2} + 54x - 6 = 0$.
Для отыскания нужного корня этого кубического уравнения полагаем $x = \frac{1}{8} + \delta$, где $\delta$ - малая поправка. Подставляя это выражение в предыдущее уравнение и отбрасывая кубы и квадраты поправки $\delta$, получаем для нее линейное уравнение, из которого находим $\delta = 0,006$. Следовательно,
$x = 0,125 + 0,006 = 0,131$.
