Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14055
2020-04-12 
Какое давление изнутри может выдержать стеклянная трубка, наружный и внутренний диаметры которой соответственно 8 мм и 7 мм? Наружное давление $10^{5} н/м^{2}$.
Решение:
Из трубки мысленно вырежем кольцо высотой $dh$ и из него выделим бесконечно малый элемент $\frac{d_{2} }{2} d \alpha$ (рис.).
На каждый элемент трубки действуют:
сила давления изнутри трубки
$F_{в} = p_{в} \cdot S_{2}$,
где $p_{в}$ - давление изнутри трубки, $S_{2} = \frac{d_{2} }{2} d \alpha \cdot dh$ - внутренняя поверхность элемента.
Сила давления снаружи трубки
$F_{н} = p_{н} \cdot S_{1}$,
где $S_{1} = \frac{d_{1} }{2} d \alpha \cdot dh$ - внешняя поверхность элемента.
Силы напряжения со стороны соседних элементов
$F = \sigma S$,
где $\sigma$ - напряжение в стекле, $S = \frac{d_{1} - d_{2} }{2} dh$ - боковая поверхность элемента.
Элемент трубки будет находиться в равновесии, если векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. При увеличении силы давления изнутри трубки сила напряжения будет увеличиваться. Наибольшее напряжение а, которое может быть между элементами, равно разрушающему напряжению $\sigma_{m}$.
Выберем систему координат XOY так, как показано на рисунке. Спроектируем силы, действующие на выбранный элемент, на ось OY, и запишем условие равновесия
$p_{в} \cdot S_{2} - p_{н} \cdot S_{1} - 2 \sigma_{m} \cdot S \sin \frac{d \alpha }{2} = 0$. (1)
Подставим в это уравнение значение $S_{1}, S_{2}, S$ и учтем, что $\sin \frac{d \alpha }{2} \approx \frac{d \alpha }{2}$. После сокращения на $\frac{d \alpha \cdot dh }{2} \neq 0$ перепишем уравнение (1)
$p_{в}d_{2} - p_{н}d_{1} - \sigma_{m} (d_{1} - d_{2} ) = 0$. (2)
Отсюда
$p_{в} = p_{н} \frac{d_{1} }{d_{2} } + \sigma_{m} \frac{d_{1} - d_{2} }{d_{2} } = p_{н} + \sigma_{m} \frac{d_{1} - d_{2} }{d_{2} }$.
Так как по условию трубка тонкая, то $\frac{d_{1} }{d_{2} } \approx 1$.
Произведем расчет. Из таблицы разрушающее напряжение для стекла
$\sigma_{m} = 3 \cdot 10^{7} н/м^{2}$
$p_{в} = \frac{3 \cdot 10^{7} \cdot (8-7)}{7} + 10^{5} = 4,3 \cdot 10^{6} + 10^{5} = 4,4 \cdot 10^{5} н/м^{2}$.
Какое давление изнутри может выдержать стеклянная трубка, наружный и внутренний диаметры которой соответственно 8 мм и 7 мм? Наружное давление $10^{5} н/м^{2}$.
Решение:
Из трубки мысленно вырежем кольцо высотой $dh$ и из него выделим бесконечно малый элемент $\frac{d_{2} }{2} d \alpha$ (рис.).
На каждый элемент трубки действуют:
сила давления изнутри трубки
$F_{в} = p_{в} \cdot S_{2}$,
где $p_{в}$ - давление изнутри трубки, $S_{2} = \frac{d_{2} }{2} d \alpha \cdot dh$ - внутренняя поверхность элемента.
Сила давления снаружи трубки
$F_{н} = p_{н} \cdot S_{1}$,
где $S_{1} = \frac{d_{1} }{2} d \alpha \cdot dh$ - внешняя поверхность элемента.
Силы напряжения со стороны соседних элементов
$F = \sigma S$,
где $\sigma$ - напряжение в стекле, $S = \frac{d_{1} - d_{2} }{2} dh$ - боковая поверхность элемента.
Элемент трубки будет находиться в равновесии, если векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. При увеличении силы давления изнутри трубки сила напряжения будет увеличиваться. Наибольшее напряжение а, которое может быть между элементами, равно разрушающему напряжению $\sigma_{m}$.
Выберем систему координат XOY так, как показано на рисунке. Спроектируем силы, действующие на выбранный элемент, на ось OY, и запишем условие равновесия
$p_{в} \cdot S_{2} - p_{н} \cdot S_{1} - 2 \sigma_{m} \cdot S \sin \frac{d \alpha }{2} = 0$. (1)
Подставим в это уравнение значение $S_{1}, S_{2}, S$ и учтем, что $\sin \frac{d \alpha }{2} \approx \frac{d \alpha }{2}$. После сокращения на $\frac{d \alpha \cdot dh }{2} \neq 0$ перепишем уравнение (1)
$p_{в}d_{2} - p_{н}d_{1} - \sigma_{m} (d_{1} - d_{2} ) = 0$. (2)
Отсюда
$p_{в} = p_{н} \frac{d_{1} }{d_{2} } + \sigma_{m} \frac{d_{1} - d_{2} }{d_{2} } = p_{н} + \sigma_{m} \frac{d_{1} - d_{2} }{d_{2} }$.
Так как по условию трубка тонкая, то $\frac{d_{1} }{d_{2} } \approx 1$.
Произведем расчет. Из таблицы разрушающее напряжение для стекла
$\sigma_{m} = 3 \cdot 10^{7} н/м^{2}$
$p_{в} = \frac{3 \cdot 10^{7} \cdot (8-7)}{7} + 10^{5} = 4,3 \cdot 10^{6} + 10^{5} = 4,4 \cdot 10^{5} н/м^{2}$.
