Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14050
2020-04-12 
С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковой массы и одинаковых радиусов. Определите отношение скоростей этих тел на данном уровне; отношение скоростей этих тел в данный момент времени.
Решение:
Задачи, в которых рассматривается качение тел, можно решать двумя способами: а) рассматривать движение как сложнее, т. е. как поступательное движение центра масс тела и вращательное движение тела относительно оси, проходящей через центр масс; б) рассматривать вращение относительно мгновенной оси.
Так как от скорости тела зависит кинетическая энергия, найдем отношение кинетических энергий на одном уровне. Работа против сил трения не совершается, поэтому по закону сохранения энергии при одинаковом изменении потенциальной энергии должна быть приобретена одинаковая кинетическая энергия
$W_{цилиндр} = W_{шара}$. (1)
Рассчитаем эту энергию двумя способами.
1-й способ:
$W = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{I_{0} \omega^{2} }{2}$, (2)
где $I_{0}$ - момент инерции тел относительно оси, проходящей через центр массы.
Для цилиндра $I_{о.ц} = 0,5 mR^{2}$, для шара $I_{о.ш} = 0,4mR^{2}$. При отсутствии скольжения $\omega = \frac{v}{R}$.
Подставив эти значения в уравнение (2) и учитывая (1), получим
$1,5 \frac{mv_{ц}^{2} }{2} = 1,4 \frac{mv_{ш}^{2} }{2}$.
Откуда
$\frac{v_{ц}}{v_{ш}} = \sqrt{ \frac{14}{15}}$. (3)
2-й способ:
$W = \frac{I \omega^{2} }{2}$, (4)
где $I$ момент инерции тел относительно мгновенной оси, проходящей через точку A (рис. ), определяется по теореме Штейнера $I = I_{0} + mr^{2}$.
Для цилиндра $I_{ц} = 1,5 mR^{2}$,
для шара $I_{ш} = 1,4 mR^{2}$. (5)
Подставив эти значения в уравнение (4) и учитывая (1), получим
$\frac{v_{ц} }{v_{ш} } = \sqrt{ \frac{14}{15} }$.
Следовательно, на данном уровне скорость шара больше скорости цилиндра.
Скорость в данный момент определяется уравнением
$v = at$.
Отношение скоростей $\frac{v_{ц} }{v_{ш} }$ в данный момент времени определяется отношением линейных ускорений $\frac{a_{ц} }{a_{ш} }$. При одинаковых радиусах и отсутствии скольжения отношение линейных ускорений равно отношению угловых ускорений $\frac{ \eta_{ц} }{ \eta_{ш} }$.
Для определения отношения угловых ускорений воспользуемся основным законом динамики вращательного движения
$\vec{M} = I \vec{eta}$.
Вращающие моменты относительно мгновенной оси у тел одинаковы $M = mg \sin \alpha \cdot R$.
Поэтому
$I_{ц} \eta_{ц} = I_{ш} \cdot \eta_{ш}$
Учитывая уравнение (5), получаем
$\frac{v_{ц}}{v_{ш} } = \frac{ \eta_{ц} }{ \eta_{ш} } = \frac{14}{15}$.
Следовательно, в данный момент времени скорость шара больше скорости цилиндра.
С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковой массы и одинаковых радиусов. Определите отношение скоростей этих тел на данном уровне; отношение скоростей этих тел в данный момент времени.
Решение:
Задачи, в которых рассматривается качение тел, можно решать двумя способами: а) рассматривать движение как сложнее, т. е. как поступательное движение центра масс тела и вращательное движение тела относительно оси, проходящей через центр масс; б) рассматривать вращение относительно мгновенной оси.
Так как от скорости тела зависит кинетическая энергия, найдем отношение кинетических энергий на одном уровне. Работа против сил трения не совершается, поэтому по закону сохранения энергии при одинаковом изменении потенциальной энергии должна быть приобретена одинаковая кинетическая энергия
$W_{цилиндр} = W_{шара}$. (1)
Рассчитаем эту энергию двумя способами.
1-й способ:
$W = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{I_{0} \omega^{2} }{2}$, (2)
где $I_{0}$ - момент инерции тел относительно оси, проходящей через центр массы.
Для цилиндра $I_{о.ц} = 0,5 mR^{2}$, для шара $I_{о.ш} = 0,4mR^{2}$. При отсутствии скольжения $\omega = \frac{v}{R}$.
Подставив эти значения в уравнение (2) и учитывая (1), получим
$1,5 \frac{mv_{ц}^{2} }{2} = 1,4 \frac{mv_{ш}^{2} }{2}$.
Откуда
$\frac{v_{ц}}{v_{ш}} = \sqrt{ \frac{14}{15}}$. (3)
2-й способ:
$W = \frac{I \omega^{2} }{2}$, (4)
где $I$ момент инерции тел относительно мгновенной оси, проходящей через точку A (рис. ), определяется по теореме Штейнера $I = I_{0} + mr^{2}$.
Для цилиндра $I_{ц} = 1,5 mR^{2}$,
для шара $I_{ш} = 1,4 mR^{2}$. (5)
Подставив эти значения в уравнение (4) и учитывая (1), получим
$\frac{v_{ц} }{v_{ш} } = \sqrt{ \frac{14}{15} }$.
Следовательно, на данном уровне скорость шара больше скорости цилиндра.
Скорость в данный момент определяется уравнением
$v = at$.
Отношение скоростей $\frac{v_{ц} }{v_{ш} }$ в данный момент времени определяется отношением линейных ускорений $\frac{a_{ц} }{a_{ш} }$. При одинаковых радиусах и отсутствии скольжения отношение линейных ускорений равно отношению угловых ускорений $\frac{ \eta_{ц} }{ \eta_{ш} }$.
Для определения отношения угловых ускорений воспользуемся основным законом динамики вращательного движения
$\vec{M} = I \vec{eta}$.
Вращающие моменты относительно мгновенной оси у тел одинаковы $M = mg \sin \alpha \cdot R$.
Поэтому
$I_{ц} \eta_{ц} = I_{ш} \cdot \eta_{ш}$
Учитывая уравнение (5), получаем
$\frac{v_{ц}}{v_{ш} } = \frac{ \eta_{ц} }{ \eta_{ш} } = \frac{14}{15}$.
Следовательно, в данный момент времени скорость шара больше скорости цилиндра.
