Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14049
2020-04-12 
Три одинаковых упругих шара висят, касаясь друг друга, на трех параллельных нитях одинаковой длины. Один из шаров отклоняют по направлению, перпендикулярному прямой, соединяющей центры двух других шаров, и отпускают. Каковы скорости шаров после удара, если скорость ударяющего их шара в момент удара $v$?
Решение:
В системе отсчета, связанной с Землей, выберем систему координат так, чтобы скорость движущегося шара совпадала с направлением оси OY. Так как непосредственно перед соударением скорость шара горизонтальна, а в горизонтальном направлении внешние силы не действуют (в вертикальном направлении сила тяжести уравновешена реакцией подвеса), то систему можно считать замкнутой.
Импульс системы шаров до соударения должен быть равен импульсу после соударения
$m \vec{v} = m \vec{u}_{1} + m \vec{u}_{2} + m \vec{u}_{3}$ или $\vec{v} = \vec{u}_{1} + \vec{u}_{2} + \vec{u}_{3}$. (1)
Спроектируем импульсы шаров до и после соударения на оси ОХ и OY
Векторное уравнение (1) эквивалентно двум уравнениям для проекций скоростей на оси ОХ и OY (рис.).
Проекция на ось ОХ:
$0 = u_{2x} - u_{3x}$.
Но из симметрии задачи $u_{2} = u_{3}$. Поэтому проекция на ось OY:
$v = 2u_{2} \cos \alpha - u_{1}$. (2)
По закону сохранения энергии
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{2mu_{2}^{2} }{2} + \frac{mu_{1}^{2} }{2}$. (3)
Решим систему уравнений (2) и (3)
$\begin{cases} v = 2u_{2} \cos \alpha - u_{1}; \\ v^{2} = 2u_{2}^{2} + u_{1}^{2}; \end{cases}$
$v + u_{1} = 2u_{2} \cos \alpha$. (2б)
$(v + u_{1} )(v - u_{1} ) = 2u_{2}^{2}$ (3б)
Разделив уравнения (3б) на (2б), найдем $u_{1}$
$(v - u_{1} ) = \frac{u_{2} }{ \cos \alpha }$. (3)
Откуда
$u_{1} = \frac{v \cos \alpha - u_{2} }{ \cos \alpha }$. (4)
Из уравнения (2)
$u_{1} = 2u_{2} \cos \alpha - v$. (5)
Приравняв уравнения (4) и (5), найдем $u_{2}$
$u_{2} = \frac{2 \cos \alpha }{2 \cos^{2} \alpha + 1 } v$. (6)
$u_{2} = \frac{2 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} }{ 2 \cdot \frac{3}{4} + 1 } = \frac{2 \sqrt{3} }{5} v$.
Подставив найденное значение $u_{2}$ в уравнение (5), найдем
$u_{1} = 2 \frac{2 \sqrt{3} }{5} \frac{ \sqrt{3} }{2}v - v = \frac{1}{5} v$.
Три одинаковых упругих шара висят, касаясь друг друга, на трех параллельных нитях одинаковой длины. Один из шаров отклоняют по направлению, перпендикулярному прямой, соединяющей центры двух других шаров, и отпускают. Каковы скорости шаров после удара, если скорость ударяющего их шара в момент удара $v$?
Решение:
В системе отсчета, связанной с Землей, выберем систему координат так, чтобы скорость движущегося шара совпадала с направлением оси OY. Так как непосредственно перед соударением скорость шара горизонтальна, а в горизонтальном направлении внешние силы не действуют (в вертикальном направлении сила тяжести уравновешена реакцией подвеса), то систему можно считать замкнутой.
Импульс системы шаров до соударения должен быть равен импульсу после соударения
$m \vec{v} = m \vec{u}_{1} + m \vec{u}_{2} + m \vec{u}_{3}$ или $\vec{v} = \vec{u}_{1} + \vec{u}_{2} + \vec{u}_{3}$. (1)
Спроектируем импульсы шаров до и после соударения на оси ОХ и OY
Векторное уравнение (1) эквивалентно двум уравнениям для проекций скоростей на оси ОХ и OY (рис.).
Проекция на ось ОХ:
$0 = u_{2x} - u_{3x}$.
Но из симметрии задачи $u_{2} = u_{3}$. Поэтому проекция на ось OY:
$v = 2u_{2} \cos \alpha - u_{1}$. (2)
По закону сохранения энергии
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{2mu_{2}^{2} }{2} + \frac{mu_{1}^{2} }{2}$. (3)
Решим систему уравнений (2) и (3)
$\begin{cases} v = 2u_{2} \cos \alpha - u_{1}; \\ v^{2} = 2u_{2}^{2} + u_{1}^{2}; \end{cases}$
$v + u_{1} = 2u_{2} \cos \alpha$. (2б)
$(v + u_{1} )(v - u_{1} ) = 2u_{2}^{2}$ (3б)
Разделив уравнения (3б) на (2б), найдем $u_{1}$
$(v - u_{1} ) = \frac{u_{2} }{ \cos \alpha }$. (3)
Откуда
$u_{1} = \frac{v \cos \alpha - u_{2} }{ \cos \alpha }$. (4)
Из уравнения (2)
$u_{1} = 2u_{2} \cos \alpha - v$. (5)
Приравняв уравнения (4) и (5), найдем $u_{2}$
$u_{2} = \frac{2 \cos \alpha }{2 \cos^{2} \alpha + 1 } v$. (6)
$u_{2} = \frac{2 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} }{ 2 \cdot \frac{3}{4} + 1 } = \frac{2 \sqrt{3} }{5} v$.
Подставив найденное значение $u_{2}$ в уравнение (5), найдем
$u_{1} = 2 \frac{2 \sqrt{3} }{5} \frac{ \sqrt{3} }{2}v - v = \frac{1}{5} v$.
