2016-11-20
На каком расстоянии от дна находится центр масс тонкостенного цилиндрического стакана, имеющего высоту $h = 12 см$ и радиус $R = 4 см$, если толщина дна в два раза больше толщины стенок?
Решение:
Будем рассматривать стакан как тело, состоящее из двух симметричных тел: боковых стенок и дна с центрами симметрии (центрами масс) $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно.
Масса первого тела:
$m_{1} = 2 \pi Rdh \rho$ (1)
и второго:
$m_{2} = \pi r^{2} 2d \rho$, (2)
где $d$ — толщина стенки стакана, $\rho$ — плотность материала стакана.
Выбирая ось х с началом в точке $O_{2}$, как показано на рисунке, согласно определению центра масс, получаем:
$x_{цм} = \frac{ \frac{h}{2} m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
Подставляя (1), (2) в (3), находим:
$x_{цм} = \frac{ \frac{h}{2}}{ 1 + \frac{r^{2}}{Rh}} = 4,5 см$.
Таким образом, центр масс стакана находится на расстоянии 4,5 см от его дна.