2016-11-20
Доказать, что центр масс плоского треугольника находится в точке пересечения медиан.
Решение:
Докажем сначала, что центр масс треугольника лежит па медиане ВМ. Для этого разобьем треугольник на тонкие полоски, параллельные основанию АС. Поскольку можем считать полоски сколь угодно тонкими, то со сколь угодно большей точностью можем считать каждую полоску прямоугольником, центр масс которого находится в его центре симметрии, то ость посередине полоски в точке К, которая, как нетрудно показать, принадлежит медиане ВМ.
Чтобы найти положение центра масс всего треугольника, мы должны, согласно доказанному во введении утверждению, собрать массу каждой полоски в ее центре и вычислить центр масс расположенных на прямой ВМ точечных масс. Очевидно, что центр масс точечных масс, расположенных на одной прямой, сам принадлежит этой прямой.
Проводя аналогичные рассуждения для двух других медиан, получаем тот же результат.
Единственная точка, которая одновременно принадлежит всем трем медианам треугольника, — это точка их пересечения. Таким образом, утверждение задачи доказано.