2016-11-20
Определить центр масс плоского однородного диска с вырезанным отверстием (см. рис.). Величины $R, r$ и $d$ известны.
Решение:
При решении задач данного типа удобно применять следующий прием. Мысленно вырежем еще одно отверстие в диске, симметричное имеющемуся относительно точки О. Получившаяся фигура (диск без двух отверстий) обладает центром симметрии О и, следовательно, ее центр масс также расположен в точке О.
Центр масс мысленно вырезанного круга находится в его центре.
Будем отыскивать центр масс искомой фигуры, полагая, что она состоит из двух тел: круга и диска с двумя отверстиями. Согласно полученным во введении к разделу результатам, эта задача эквивалентна нахождению центра масс двух точечных масс, сосредоточенных в точках О и $O^{ \prime}$.
Выберем систему координат с началом в точке О.
Согласно определению центра масс:
$x_{цм} = \frac{md}{M+m}$. (1)
Обозначим через $\rho$ массу диска, приходящуюся на единицу его площади. Тогда масса круга равна:
$m = \rho \pi r^{2}$, (2)
а масса диска с двумя отверстиями:
$M = \rho \pi (R^{2} - 2r^{2})$. (3)
Подставляя (2, 3) в (1) и сокращая на $\rho \pi$, окончательно получаем:
$x_{цм} = \frac{r^{2}}{R^{2} - r^{2}} d$.
Таким образом, центр масс искомой фигуры расположен на отрезке $OO^{ \prime}$ на расстоянии $x_{цм}$ от точки О.