2016-11-19
Тонкое резиновое кольцо массы $m$ надето на горизонтально расположенный диск радиуса $R$. Сила, с которой растянуто кольцо, $T$. Коэффициент трения между кольцом и диском $\mu$. При какой угловой скорости $\omega$ вращения диска кольцо с него начнет спадать?
Решение:
рис.1
рис.2
Запишем закон Ньютона для малого фрагмента кольца, опирающегося на угол $2 \alpha$:
$\vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} + \Delta m \vec{g} + \vec{F}_{тр} + \vec{N} = \Delta m \vec{a}$,
причем:
$T_{1} = T_{2} = T$ (2)
$a = \omega^{2} R$. (3)
Спроецируем (1) на оси х и у:
$2T \sin \alpha - N = \Delta ma$ (lx)
$-F_{тр} + mg = 0$(1y)
В критический момент, когда кольцо находится на грани проскальзывания:
$F_{тр} = \mu N$ (4)
Учитывая, что
$\Delta m = \frac{m}{ 2 \pi} \cdot 2 \alpha$ (5)
и $\sin \alpha \approx \alpha$, из последних пяти соотношений находим:
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{2 \pi T}{mR} - \frac{g}{ \mu R}}$.
Отметим, что сила, с которой растянуто кольцо, постоянна до тех пор, пока кольцо не деформируется, то есть его радиус не изменится (закон Гука).
Таким образом, при $\omega > \omega_{0}$ кольцо соскользнет с диска.