Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 140
2014-05-31 
На горизонтальной равнине установлена пушка, стреляющая под углом $\alpha$ к горизонту. Во сколько раз надо увеличить начальную скорость $v_{0}$ снаряда, чтобы:
а) дальность полета снаряда увеличилась вдвое;
б) максимальная высота подъема снаряда увеличилась вдвое,
в) время полета снаряда увеличилось вдвое?
Решение:
Движение тела в поле тяготения Земли на высотах много меньших радиуса Земли, можно считать равноускоренным. Это ускорение направлено вниз и равно $ g \approx 10 м/с^{2}$. В произвольной инерциальной системе отсчета равноускоренное движение описывается уравнениями (5). Для решения задачи выберем начало координат в точке, где установлена пушка. Ось у направим вертикально вверх, ось х -горизонтально в направлении полета снаряда. Тогда уравнения (5) в проекциях на выбранные оси координат примут вид
$x(t) = v_{0x}t, v_{0x} = v_{0} \cos \alpha$, (1)
$y(t) = v_{0y}t – gt^{2}/2, v_{0y}=v_{0} \sin \alpha$, (2)
$v_{x}(t) = v_{0x}$, (3)
$v_{y}(t) = v_{0y} - gt$. (4)
Из этих уравнений и найдем дальность, максимальную высоту и время полета снаряда.
Максимальная высота подъема $y_{max}$ определяется из условии
$y_{max} = y(t_{1}), v_{y}(t_{1}) = 0$. (5)
Это условие означает, что за время $t_{1}$ снаряд достигает высшей точки траектории, в которой вертикальная составляющая его скорости обращается в ноль. Из условия (5) и уравнений движения (2) и (4) находим $t_{1} = v_{0y}/g$, откуда
$y_{max} = \frac{v^{2}_{0y}}{2g} = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}{2g}$. (6)
Полное время полета снаряда $t_{2}$ в два раза больше времени подьема до высшей точки:
$t_{2}=2t_{1}=2v_{0y}/g = 2v_{0} \sin \alpha/g$. (7)
Дальность полета $l$, по определению, равна расстоянию по горизонтали от места падения до места вылета снаряда: $l = x(t_{2})$. Подставляя выражение (7) в уравнение (1), получаем
$l=2v_{0x}v_{0y}/g=v^{2}_{0} \sin 2 \alpha$. (8)
Из равенств (6) - (8) следует, что для увеличения дальности и высоты полета в два раза надо увеличить начальную скорость в $\sqrt{2}$, а для увеличения в два раза времени полета - в два раза.
На горизонтальной равнине установлена пушка, стреляющая под углом $\alpha$ к горизонту. Во сколько раз надо увеличить начальную скорость $v_{0}$ снаряда, чтобы:
а) дальность полета снаряда увеличилась вдвое;
б) максимальная высота подъема снаряда увеличилась вдвое,
в) время полета снаряда увеличилось вдвое?
Решение:
Движение тела в поле тяготения Земли на высотах много меньших радиуса Земли, можно считать равноускоренным. Это ускорение направлено вниз и равно $ g \approx 10 м/с^{2}$. В произвольной инерциальной системе отсчета равноускоренное движение описывается уравнениями (5). Для решения задачи выберем начало координат в точке, где установлена пушка. Ось у направим вертикально вверх, ось х -горизонтально в направлении полета снаряда. Тогда уравнения (5) в проекциях на выбранные оси координат примут вид
$x(t) = v_{0x}t, v_{0x} = v_{0} \cos \alpha$, (1)
$y(t) = v_{0y}t – gt^{2}/2, v_{0y}=v_{0} \sin \alpha$, (2)
$v_{x}(t) = v_{0x}$, (3)
$v_{y}(t) = v_{0y} - gt$. (4)
Из этих уравнений и найдем дальность, максимальную высоту и время полета снаряда.
Максимальная высота подъема $y_{max}$ определяется из условии
$y_{max} = y(t_{1}), v_{y}(t_{1}) = 0$. (5)
Это условие означает, что за время $t_{1}$ снаряд достигает высшей точки траектории, в которой вертикальная составляющая его скорости обращается в ноль. Из условия (5) и уравнений движения (2) и (4) находим $t_{1} = v_{0y}/g$, откуда
$y_{max} = \frac{v^{2}_{0y}}{2g} = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}{2g}$. (6)
Полное время полета снаряда $t_{2}$ в два раза больше времени подьема до высшей точки:
$t_{2}=2t_{1}=2v_{0y}/g = 2v_{0} \sin \alpha/g$. (7)
Дальность полета $l$, по определению, равна расстоянию по горизонтали от места падения до места вылета снаряда: $l = x(t_{2})$. Подставляя выражение (7) в уравнение (1), получаем
$l=2v_{0x}v_{0y}/g=v^{2}_{0} \sin 2 \alpha$. (8)
Из равенств (6) - (8) следует, что для увеличения дальности и высоты полета в два раза надо увеличить начальную скорость в $\sqrt{2}$, а для увеличения в два раза времени полета - в два раза.
