2016-11-19
С какой минимальной угловой скоростью нужно вращать ведро в вертикальной плоскости, чтобы из него не выливалась вода?
Расстояние от дна ведра до центра вращения $l$.
Решение:
Пусть в произвольный момент времени угол между вертикалью и осью OA оказался равен $\alpha$. На воду действует сила тяжести $m \vec{g}$, силы реакции со стороны боковых стенок ведра, направленные перпендикулярно оси х (сумму этих последних сил обозначим через $\vec{ \theta}$) и сила реакции $\vec{N}$ со стороны дна.
Записываем закон Ньютона для воды в ведре:
$m \vec{g} + \vec{N} + \vec{ \theta} = m \vec{a}$
в проекции на ось х (при этом $\theta_{x} = 0$):
$N + mg \cos \alpha = ma$. (1)
Из кинематики вращательного движения имеем:
$a = \omega^{2} l$, (2)
и, кроме того, ускорение воды направлено к центру вращения (см. рис.).
Вода не выливается до тех пор, пока есть взаимодействие с дном ведра, то есть:
$N \geq 0$, (3)
причем $N = 0$ соответствует критической ситуации — вода и дно находятся на грани соприкосновения.
Из системы (1—3) находим:
$N = - mg \cos \alpha + ml \omega^{2} \geq 0$
или
$\omega \geq \sqrt{ \frac{g \cos \alpha}{l}}$. (4)
Поскольку соотношение (4) должно быть справедливо для всех $\alpha$, окончательно получаем:
$\omega_{min} = \sqrt{ \frac{g}{l}}$.
Наиболее «опасный» участок движения соответствует $\alpha = 0$, то есть моменту времени, когда ведро находится в высшей точке своей траектории. При вращении с угловой скоростью $\omega = \omega_{min}$ в высшей точке $N = 0$ (во всех других $N > 0$), однако вода проходит это состояние (с $\alpha = 0$) мгновенно и поэтому не успевает оторваться от дна (то есть вылиться).
Приведенное решение является приближенным, так как предполагалось, что все фрагменты воды имеют одинаковые ускорения. Иными словами, мы считали, что расстояние от поверхности воды до дна и диаметр дна много меньше $l$.