Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13983
2020-04-09 
Два полубесконечных плоских зеркала расположены взаимно перпендикулярно и касаются друг друга своими краями, образуя уголковый отражатель. Больший из осколков тонкой собирающей линзы радиусом $R$ с фокусным расстоянием $2r$, расколотой точно вдоль хорды, проходящей на расстоянии $r$ от центра линзы, расположен так, что его главная оптическая ось перпендикулярна первому зеркалу, линия раскола параллельна второму зеркалу, а оптический центр удален от первого и второго зеркал на расстояния $5r$ и $2r$ соответственно. Точечный источник света находится на главной оптической оси осколка и удален от него и от первого зеркала на расстояния $3r$ и $8r$ соответственно.
1) При условии $R \gg r$ найдите все изображения источника в описанной оптической системе и отметьте их положения относительно нее на клетчатой бумаге, приняв сторону клетки равной $r$. Если какое-то изображение лежит не точно на пересечении линий сетки, то укажите вычисленные значения расстояний от этого изображения до плоскостей обоих зеркал.
2) Найдите количество $N$ изображений для каждого из шести вариантов: $\frac{R}{r} \in \{3; 5; 10; 20; 40; 80 \}$. Изображения, созданные разными элементами оптической системы и оказавшиеся в одной точке, считаются различными.
Решение:
Изобразим на клетчатой бумаге сечение оптической системы плоскостью, проходящей через главную оптическую ось осколка линзы перпендикулярно обоим зеркалам (рис.). Отметим большими точками основные элементы: общий край зеркал $C$, источник света $S$, оптический центр осколка $O$, его фокусы $F_{1}$ и $F_{2}$, а буквами $A$ и $B$ отметим края осколками, расположенные на разных расстояниях от центра: $OA = R > r = OB$.
Чтобы не запутаться при построении изображений, пронумеруем элементы: 1 - первое зеркало, 2 - второе зеркало, 3 - осколок линзы и будем писать в индексе обозначения каждого изображения последовательность номеров элементов, через которые прошли лучи, создавшие данное изображение. А чтобы не построить лишние изображения, следует каждый раз проверять, что оптический элемент находится в области видимости предмета, т.е. что на оптический элемент падает хотя бы один луч от предмета.
Применение обычных правил построения изображений в зеркале и линзе (напомним, что любая часть линзы создает изображение там же, где и целая линза, но вот области видимости могут различаться) дает 20 изображений, два из которых, $S_{12}$ и $S_{21}$, совпадают.
Для большей ясности рассмотрим некоторые изображения более подробно. Поскольку зеркала полубесконечные, а линза имеет конечный размер, обязательно найдутся лучи, идущие от источника $S$ к первому зеркалу мимо линзы. После отражения они создадут изображение $S_{1}$, но попасть в линзу ни напрямую, ни после отражения еще и от второго зеркала, создав тем самым изображение $S_{12}$, они не смогут, в чем легко убедиться, рассмотрев проекции этих лучей на плоскость рисунка, поэтому изображений $S_{13}$ и $S_{123}$ не существует.
Есть ровно два изображения, $S_{213}$ и $S_{2132}$, которые лежат не точно на пересечениях линий сетки, поэтому их положения нужно вычислить по формулам. Изображенный на рисунке пунктиром луч создает после первого отражения изображение $S_{2}$, после второго - $S_{21}$, а после преломления - $S_{213}$. Пусть $F = 2r$ - фокусное расстояние линзы, $d = 13r$ и $f$ - расстояния от плоскости линзы до предмета $S_{21}$ и его изображения $S_{213}$ соответственно, тогда из формулы тонкой линзы получаем
$f = \frac{dF}{d - F} = \frac{26}{11}r$,
а из подобия треугольников, возникающих при проведении луча через оптический центр линзы, находим расстояние $l$ от $S_{213}$ до главной оптической оси:
$l = \frac{f}{d} \cdot 4r = \frac{8}{11} r$.
Поскольку $l < r < R$, рассматриваемый луч может идти в сторону второго зеркала, поэтому изображение $S_{2132}$ будет существовать при любых значениях $R$. Таким образом, расстояния $x$ и $y$ от любого из изображений $S_{213}$ и $S_{2132}$ до плоскостей первого и второго зеркал соответственно имеют вид
$x = 5r + f = \frac{81}{11}r, y = 2r + l = \frac{30}{11} r$.
Представленные на рисунке изображения построены в предположении $R \gg r$, а теперь предстоит выяснить, какие из них не будут наблюдаться при меньших значениях $R$. Для этого нужно для каждого изображения построить создающие его граничные лучи, двигаясь мысленно в направлении к источнику, и найти их точки пересечения с плоскостью линзы. Итогом этих несложных (хотя и многочисленных) построений является таблица, из которой следует
ответ на второй вопрос, представленный в таблице
Два полубесконечных плоских зеркала расположены взаимно перпендикулярно и касаются друг друга своими краями, образуя уголковый отражатель. Больший из осколков тонкой собирающей линзы радиусом $R$ с фокусным расстоянием $2r$, расколотой точно вдоль хорды, проходящей на расстоянии $r$ от центра линзы, расположен так, что его главная оптическая ось перпендикулярна первому зеркалу, линия раскола параллельна второму зеркалу, а оптический центр удален от первого и второго зеркал на расстояния $5r$ и $2r$ соответственно. Точечный источник света находится на главной оптической оси осколка и удален от него и от первого зеркала на расстояния $3r$ и $8r$ соответственно.
1) При условии $R \gg r$ найдите все изображения источника в описанной оптической системе и отметьте их положения относительно нее на клетчатой бумаге, приняв сторону клетки равной $r$. Если какое-то изображение лежит не точно на пересечении линий сетки, то укажите вычисленные значения расстояний от этого изображения до плоскостей обоих зеркал.
2) Найдите количество $N$ изображений для каждого из шести вариантов: $\frac{R}{r} \in \{3; 5; 10; 20; 40; 80 \}$. Изображения, созданные разными элементами оптической системы и оказавшиеся в одной точке, считаются различными.
Решение:
Изобразим на клетчатой бумаге сечение оптической системы плоскостью, проходящей через главную оптическую ось осколка линзы перпендикулярно обоим зеркалам (рис.). Отметим большими точками основные элементы: общий край зеркал $C$, источник света $S$, оптический центр осколка $O$, его фокусы $F_{1}$ и $F_{2}$, а буквами $A$ и $B$ отметим края осколками, расположенные на разных расстояниях от центра: $OA = R > r = OB$.
Чтобы не запутаться при построении изображений, пронумеруем элементы: 1 - первое зеркало, 2 - второе зеркало, 3 - осколок линзы и будем писать в индексе обозначения каждого изображения последовательность номеров элементов, через которые прошли лучи, создавшие данное изображение. А чтобы не построить лишние изображения, следует каждый раз проверять, что оптический элемент находится в области видимости предмета, т.е. что на оптический элемент падает хотя бы один луч от предмета.
Применение обычных правил построения изображений в зеркале и линзе (напомним, что любая часть линзы создает изображение там же, где и целая линза, но вот области видимости могут различаться) дает 20 изображений, два из которых, $S_{12}$ и $S_{21}$, совпадают.
Для большей ясности рассмотрим некоторые изображения более подробно. Поскольку зеркала полубесконечные, а линза имеет конечный размер, обязательно найдутся лучи, идущие от источника $S$ к первому зеркалу мимо линзы. После отражения они создадут изображение $S_{1}$, но попасть в линзу ни напрямую, ни после отражения еще и от второго зеркала, создав тем самым изображение $S_{12}$, они не смогут, в чем легко убедиться, рассмотрев проекции этих лучей на плоскость рисунка, поэтому изображений $S_{13}$ и $S_{123}$ не существует.
Есть ровно два изображения, $S_{213}$ и $S_{2132}$, которые лежат не точно на пересечениях линий сетки, поэтому их положения нужно вычислить по формулам. Изображенный на рисунке пунктиром луч создает после первого отражения изображение $S_{2}$, после второго - $S_{21}$, а после преломления - $S_{213}$. Пусть $F = 2r$ - фокусное расстояние линзы, $d = 13r$ и $f$ - расстояния от плоскости линзы до предмета $S_{21}$ и его изображения $S_{213}$ соответственно, тогда из формулы тонкой линзы получаем
$f = \frac{dF}{d - F} = \frac{26}{11}r$,
а из подобия треугольников, возникающих при проведении луча через оптический центр линзы, находим расстояние $l$ от $S_{213}$ до главной оптической оси:
$l = \frac{f}{d} \cdot 4r = \frac{8}{11} r$.
Поскольку $l < r < R$, рассматриваемый луч может идти в сторону второго зеркала, поэтому изображение $S_{2132}$ будет существовать при любых значениях $R$. Таким образом, расстояния $x$ и $y$ от любого из изображений $S_{213}$ и $S_{2132}$ до плоскостей первого и второго зеркал соответственно имеют вид
$x = 5r + f = \frac{81}{11}r, y = 2r + l = \frac{30}{11} r$.
Представленные на рисунке изображения построены в предположении $R \gg r$, а теперь предстоит выяснить, какие из них не будут наблюдаться при меньших значениях $R$. Для этого нужно для каждого изображения построить создающие его граничные лучи, двигаясь мысленно в направлении к источнику, и найти их точки пересечения с плоскостью линзы. Итогом этих несложных (хотя и многочисленных) построений является таблица, из которой следует
ответ на второй вопрос, представленный в таблице
