Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13982
2020-04-09 
На цилиндрическую часть длинного остро заточенного осесимметричного деревянного карандаша намотали плотно в один слой много витков тонкого провода, а его концы замкнули между собой. Карандаш с проводом можно считать однородным цилиндром массой m и поперечным сечением $S$. Карандаш аккуратно поставили грифелем вниз на горизонтальную шероховатую поверхность, включили внешнее однородное вертикальное магнитное поле индукцией $B$, затем охладили провод, переведя его в сверхпроводящее состояние, после чего карандаш вышел из положения неустойчивого равновесия.
1) Найдите угол $\phi_{0}$ отклонения карандаша от вертикали в положении устойчивого равновесия.
2) Найдите период малых колебаний карандаша в вертикальной плоскости, проходящей через ось симметрии карандаша в положении устойчивого равновесия, если известно, что эти колебания возможны.
Решение:
Пусть $N$ - число витков провода, $\phi$ - угол отклонения карандаша от вертикали, тогда изменение $\Delta \Phi$ внешнего магнитного потока через соленоид по сравнению с потоком в вертикальном положении задается выражением
$\Delta \Phi = BSN (1 - \cos \phi )$.
Обозначим через $\mu_{0}$ магнитную постоянную и через $l$ - длину цилиндрической части карандаша, тогда намотанная на нее проволока образует соленоид, индуктивность $L$ которого равна
$L = \frac{ \mu_{0}SN^{2}}{l}$.
В сверхпроводящем соленоиде индуцируется ток, который создаст собственный магнитный поток, компенсирующий изменение внешнего магнитного потока. Отсюда находим силу $I$ индукционного тока:
$I \frac{ \Delta \Phi}{L} = \frac{Bl (1 - \cos \phi )}{ \mu_{0}N }$.
На виток с током в магнитном поле действует суммарный момент магнитных сил
$M_{1} = - NBIS \sin \phi = - \frac{B^{2}Sl(1 - \cos \phi ) \sin \phi }{ \mu_{0} }$,
где знак "минус" отражает тот факт, что этот момент стремится уменьшить угол $\phi$. На карандаш действует еще момент, создаваемый парой механических сил - реакции опоры и силы тяжести - и равный
$M_{2} = \frac{mgl \sin \phi}{2}$.
Замечание. Пара сил - это цельный термин, а не просто какие-то две силы. Две силы называются парой, только если их векторная сумма равна нулю. Момент, создаваемый парой сил, равен произведению модуля одной силы на расстояние между линиями действия сил и не зависит от выбора оси вращения (докажите это самостоятельно). Магнитные силы дают в сумме ноль, а сила тяжести уравновешена реакцией опоры, поэтому при вычислении обоих моментов $M_{1}$ и $M_{2}$ не было необходимости выбирать ось вращения.
Запишем суммарный момент $M$ сил, действующих на карандаш:
$M = M_{1} + M_{2} = \left ( \frac{mg}{2} - \frac{B^{2}S (1 - \cos \phi )}{ \mu_{0} } \right ) l \sin \phi$.
Из условия равновесия $M( \phi_{0} ) = 0$ находим ожидаемое нулевое отклонение в положении неустойчивого равновесия и искомое отклонение $\phi_{0}$ в положении устойчивого равновесия:
$\cos \phi_{0} = 1 - \frac{ \mu_{0}mg }{2B^{2}S }$.
Заметим, что при отрицательном значении выражения для $\cos \phi_{0}$ карандаш не провалится сквозь опору, а будет устойчиво лежать на ней, поэтому полный ответ на первый вопрос выглядит так:
$\phi_{0} = \begin{cases} arccos \left ( 1 - \frac{ \mu_{0}mg }{2B^{2}S } \right ), \: если \: 2B^{2}S > \mu_{0} mg; \\ \frac{ \pi}{2}, \: если \: 2B^{2}S > \mu_{0}mg. \end{cases}$
Для упрощения дальнейших вычислений введем обозначение
$a = \frac{ \mu_{0}mg }{2B^{2}S }$
и перепишем полученные ранее формулы с его использованием:
$\cos \phi_{0} = 1 - a, M = \frac{B^{2}Sl }{ \mu_{0}} (a - 1 + \cos \phi ) \sin \phi$.
Лежащий на опоре карандаш колебаться не может, поэтому из факта возможности рассматриваемых колебаний следует условие $a < 1$. Выразим эффективную угловую жесткость $k( \phi)$ в произвольном положении и найдем ее значение $k_{0}$ в положении равновесия:
$k( \phi) = - \frac{dM}{d \phi} = \frac{B^{2}Sl }{ \mu_{0} } (1 - (a - 1) \cos \phi - 2 \cos^{2} \phi )$,
$k_{0} = k ( \phi_{0} ) = \frac{B^{2}Sl }{ \mu_{0} } (2a - a^{2} ) = \frac{mgl}{2} (2 - a)$.
Положительность $k_{0}$ означает, что найденное положение равновесия действительно является устойчивым и колебания около него возможны. Тогда момент инерции $I$ карандаша относительно оси, проходящей через его точку опоры перпендикулярно карандашу, дается формулой $I = \frac{ml^{2}}{3}$, и искомый период крутильных колебаний равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I}{k_{0} } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{2l}{3g \left ( 2 - \frac{ \mu_{0}mg }{2B^{2}S } \right ) } }$.
На цилиндрическую часть длинного остро заточенного осесимметричного деревянного карандаша намотали плотно в один слой много витков тонкого провода, а его концы замкнули между собой. Карандаш с проводом можно считать однородным цилиндром массой m и поперечным сечением $S$. Карандаш аккуратно поставили грифелем вниз на горизонтальную шероховатую поверхность, включили внешнее однородное вертикальное магнитное поле индукцией $B$, затем охладили провод, переведя его в сверхпроводящее состояние, после чего карандаш вышел из положения неустойчивого равновесия.
1) Найдите угол $\phi_{0}$ отклонения карандаша от вертикали в положении устойчивого равновесия.
2) Найдите период малых колебаний карандаша в вертикальной плоскости, проходящей через ось симметрии карандаша в положении устойчивого равновесия, если известно, что эти колебания возможны.
Решение:
Пусть $N$ - число витков провода, $\phi$ - угол отклонения карандаша от вертикали, тогда изменение $\Delta \Phi$ внешнего магнитного потока через соленоид по сравнению с потоком в вертикальном положении задается выражением
$\Delta \Phi = BSN (1 - \cos \phi )$.
Обозначим через $\mu_{0}$ магнитную постоянную и через $l$ - длину цилиндрической части карандаша, тогда намотанная на нее проволока образует соленоид, индуктивность $L$ которого равна
$L = \frac{ \mu_{0}SN^{2}}{l}$.
В сверхпроводящем соленоиде индуцируется ток, который создаст собственный магнитный поток, компенсирующий изменение внешнего магнитного потока. Отсюда находим силу $I$ индукционного тока:
$I \frac{ \Delta \Phi}{L} = \frac{Bl (1 - \cos \phi )}{ \mu_{0}N }$.
На виток с током в магнитном поле действует суммарный момент магнитных сил
$M_{1} = - NBIS \sin \phi = - \frac{B^{2}Sl(1 - \cos \phi ) \sin \phi }{ \mu_{0} }$,
где знак "минус" отражает тот факт, что этот момент стремится уменьшить угол $\phi$. На карандаш действует еще момент, создаваемый парой механических сил - реакции опоры и силы тяжести - и равный
$M_{2} = \frac{mgl \sin \phi}{2}$.
Замечание. Пара сил - это цельный термин, а не просто какие-то две силы. Две силы называются парой, только если их векторная сумма равна нулю. Момент, создаваемый парой сил, равен произведению модуля одной силы на расстояние между линиями действия сил и не зависит от выбора оси вращения (докажите это самостоятельно). Магнитные силы дают в сумме ноль, а сила тяжести уравновешена реакцией опоры, поэтому при вычислении обоих моментов $M_{1}$ и $M_{2}$ не было необходимости выбирать ось вращения.
Запишем суммарный момент $M$ сил, действующих на карандаш:
$M = M_{1} + M_{2} = \left ( \frac{mg}{2} - \frac{B^{2}S (1 - \cos \phi )}{ \mu_{0} } \right ) l \sin \phi$.
Из условия равновесия $M( \phi_{0} ) = 0$ находим ожидаемое нулевое отклонение в положении неустойчивого равновесия и искомое отклонение $\phi_{0}$ в положении устойчивого равновесия:
$\cos \phi_{0} = 1 - \frac{ \mu_{0}mg }{2B^{2}S }$.
Заметим, что при отрицательном значении выражения для $\cos \phi_{0}$ карандаш не провалится сквозь опору, а будет устойчиво лежать на ней, поэтому полный ответ на первый вопрос выглядит так:
$\phi_{0} = \begin{cases} arccos \left ( 1 - \frac{ \mu_{0}mg }{2B^{2}S } \right ), \: если \: 2B^{2}S > \mu_{0} mg; \\ \frac{ \pi}{2}, \: если \: 2B^{2}S > \mu_{0}mg. \end{cases}$
Для упрощения дальнейших вычислений введем обозначение
$a = \frac{ \mu_{0}mg }{2B^{2}S }$
и перепишем полученные ранее формулы с его использованием:
$\cos \phi_{0} = 1 - a, M = \frac{B^{2}Sl }{ \mu_{0}} (a - 1 + \cos \phi ) \sin \phi$.
Лежащий на опоре карандаш колебаться не может, поэтому из факта возможности рассматриваемых колебаний следует условие $a < 1$. Выразим эффективную угловую жесткость $k( \phi)$ в произвольном положении и найдем ее значение $k_{0}$ в положении равновесия:
$k( \phi) = - \frac{dM}{d \phi} = \frac{B^{2}Sl }{ \mu_{0} } (1 - (a - 1) \cos \phi - 2 \cos^{2} \phi )$,
$k_{0} = k ( \phi_{0} ) = \frac{B^{2}Sl }{ \mu_{0} } (2a - a^{2} ) = \frac{mgl}{2} (2 - a)$.
Положительность $k_{0}$ означает, что найденное положение равновесия действительно является устойчивым и колебания около него возможны. Тогда момент инерции $I$ карандаша относительно оси, проходящей через его точку опоры перпендикулярно карандашу, дается формулой $I = \frac{ml^{2}}{3}$, и искомый период крутильных колебаний равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I}{k_{0} } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{2l}{3g \left ( 2 - \frac{ \mu_{0}mg }{2B^{2}S } \right ) } }$.
