Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13981
2020-04-09 
Изначально незаряженные конденсаторы емкостями $C_{1}$ и $C_{2}$ и идеальный источник ЭДС $\mathcal{E}$ соединили последовательно, а затем в нулевой момент времени параллельно конденсатору емкостью $C_{1}$ подключили катушку индуктивностью $L$.
1) В какой момент времени $t_{1}$ сила тока через катушку впервые будет максимальной?
2) Найдите максимальную силу тока $I_{0}$ через катушку.
3) В какой момент времени $t_{2}$ напряжение на конденсаторе емкостью $C_{2}$ впервые будет максимальным?
4) Найдите максимальное напряжение $U_{2}$ на конденсаторе емкостью $C_{2}$.
Решение:
Типичное решение подобных задач включает рассмотрение протекших зарядов и работы источника. Однако есть гораздо более эффективный подход, основанный на упрощении схем с помощью свойств последовательного и параллельного соединений элементов в ситуациях, когда, согласно распространенному ошибочному мнению, это делать якобы нельзя.
Начальное напряжение $U_{0}$ на конденсаторе емкостью $C_{1}$ сразу после подключения источника и до подключения катушки найдем по свойствам последовательного соединения:
$U_{} = \frac{1}{C_{1} } \left ( \frac{C_{1}C_{2}}{C_{1} + C_{2} } \mathcal{E} \right ) = \frac{C_{2} \mathcal{E} }{ C_{1} + C_{2} }$.
Перерисуем схему после подключения катушки в более наглядном виде (рис.). Заменим последовательно соединенные источник и конденсатор емкостью $C_{2}$ на эквивалентный конденсатор емкостью $C_{3} = C_{2}$, напряжение на котором отличается на $\mathcal{E}$ от напряжения на конденсаторе емкостью $C_{2}$. Далее заменим параллельно соединенные конденсаторы емкостями $C_{1}$ и $C_{3}$ на эквивалентный конденсатор емкостью $C = C_{1} + C_{2}$ с начальным напряжением $U_{0}$, что превратит схему в обычный $LC$-контур, период $T$ колебаний в котором находится по формуле Томсона:
$T = 2 \pi \sqrt{L (C_{1} + C_{2})}$.
1) Максимальная сила тока через катушку будет наблюдаться впервые через четверть периода колебаний после максимума напряжения на эквивалентном конденсаторе емкостью $C$, имевшего место в начальный момент времени:
$t_{1} = \frac{T}{4} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{L(C_{1} + C_{2} )}$.
2) Запишем закон сохранения энергии при колебаниях:
$\frac{CU_{0}^{2} }{2} = \frac{LI_{0}^{2}}{2}$,
откуда находим максимальную силу тока через катушку:
$I_{0} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} } = \frac{C_{2} \mathcal{E} }{ \sqrt{L(C_{1} + C_{2} ) } }$.
3) Напряжение на конденсаторе емкостью $C_{2}$ будет максимальным по модулю, когда напряжение на конденсаторе емкостью $C$ будет максимальным и противоположным по знаку напряжению на источнике, т.е. впервые это произойдет через половину периода колебаний:
$t_{2} = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{L (C_{1} + C_{2} )}$.
4) Максимальное напряжение на конденсаторе емкостью $C_{2}$ найдем из условия отличия его на $\mathcal{E}$ от напряжения на эквивалентном конденсаторе:
$U_{2} = U_{0} + \mathcal{E} = \mathcal{E} \left ( 1 + \frac{C_{2} }{C_{1} + C_{2} } \right )$.
Изначально незаряженные конденсаторы емкостями $C_{1}$ и $C_{2}$ и идеальный источник ЭДС $\mathcal{E}$ соединили последовательно, а затем в нулевой момент времени параллельно конденсатору емкостью $C_{1}$ подключили катушку индуктивностью $L$.
1) В какой момент времени $t_{1}$ сила тока через катушку впервые будет максимальной?
2) Найдите максимальную силу тока $I_{0}$ через катушку.
3) В какой момент времени $t_{2}$ напряжение на конденсаторе емкостью $C_{2}$ впервые будет максимальным?
4) Найдите максимальное напряжение $U_{2}$ на конденсаторе емкостью $C_{2}$.
Решение:
Типичное решение подобных задач включает рассмотрение протекших зарядов и работы источника. Однако есть гораздо более эффективный подход, основанный на упрощении схем с помощью свойств последовательного и параллельного соединений элементов в ситуациях, когда, согласно распространенному ошибочному мнению, это делать якобы нельзя.
Начальное напряжение $U_{0}$ на конденсаторе емкостью $C_{1}$ сразу после подключения источника и до подключения катушки найдем по свойствам последовательного соединения:
$U_{} = \frac{1}{C_{1} } \left ( \frac{C_{1}C_{2}}{C_{1} + C_{2} } \mathcal{E} \right ) = \frac{C_{2} \mathcal{E} }{ C_{1} + C_{2} }$.
Перерисуем схему после подключения катушки в более наглядном виде (рис.). Заменим последовательно соединенные источник и конденсатор емкостью $C_{2}$ на эквивалентный конденсатор емкостью $C_{3} = C_{2}$, напряжение на котором отличается на $\mathcal{E}$ от напряжения на конденсаторе емкостью $C_{2}$. Далее заменим параллельно соединенные конденсаторы емкостями $C_{1}$ и $C_{3}$ на эквивалентный конденсатор емкостью $C = C_{1} + C_{2}$ с начальным напряжением $U_{0}$, что превратит схему в обычный $LC$-контур, период $T$ колебаний в котором находится по формуле Томсона:
$T = 2 \pi \sqrt{L (C_{1} + C_{2})}$.
1) Максимальная сила тока через катушку будет наблюдаться впервые через четверть периода колебаний после максимума напряжения на эквивалентном конденсаторе емкостью $C$, имевшего место в начальный момент времени:
$t_{1} = \frac{T}{4} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{L(C_{1} + C_{2} )}$.
2) Запишем закон сохранения энергии при колебаниях:
$\frac{CU_{0}^{2} }{2} = \frac{LI_{0}^{2}}{2}$,
откуда находим максимальную силу тока через катушку:
$I_{0} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} } = \frac{C_{2} \mathcal{E} }{ \sqrt{L(C_{1} + C_{2} ) } }$.
3) Напряжение на конденсаторе емкостью $C_{2}$ будет максимальным по модулю, когда напряжение на конденсаторе емкостью $C$ будет максимальным и противоположным по знаку напряжению на источнике, т.е. впервые это произойдет через половину периода колебаний:
$t_{2} = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{L (C_{1} + C_{2} )}$.
4) Максимальное напряжение на конденсаторе емкостью $C_{2}$ найдем из условия отличия его на $\mathcal{E}$ от напряжения на эквивалентном конденсаторе:
$U_{2} = U_{0} + \mathcal{E} = \mathcal{E} \left ( 1 + \frac{C_{2} }{C_{1} + C_{2} } \right )$.
