2016-11-19
Две звезды образуют двойную систему с неизменным расстоянием между ними $R$. Сумма масс обеих звезд равна $M$. Чему равен период обращения звезд вокруг общей точки вращения? Гравитационная постоянная равна $G$.
Решение:
Записываем закон Ньютона для каждой из звезд в проекции на ось х:
$F_{1} = m_{1}a_{1}$ (1)
$F_{2} = m_{2}a_{2}$, (2)
и закон всемирного тяготения для каждой из звезд:
$F_{1} = \frac{Gm_{1}m_{2}}{R^{2}}$ (3)
$F_{2} = \frac{Gm_{1}m_{2}}{R^{2}}$, (4)
где через $m_{1}$ и $m_{2}$ обозначены массы звезд, так что:
$m_{1} + m_{2} = M$. (5)
Ускорения звезд:
$a_{1} = x_{1} \omega^{2}$ (6)
$a_{2} = x_{2} \omega^{2}$, (7)
где $x_{1}$ и $x_{2}$ — расстояние от каждой звезды до центра вращения, $\omega$ — угловая скорость вращения каждой звезды вокруг общего центра вращения, причем:
$x_{1} + x_{2} = R$ (8)
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$. (9)
Подставляя (3, 4) и (6, 7) в (1, 2), после несложных преобразований с учетом (5,8) получаем:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R^{3}}{G(m_{1} + m_{2})}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{R^{3}}{GM}}$.