Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13979
2020-04-09 
Катер, равномерно тянущий баржу на длинном тросе, движется с ней в $\alpha$ раз медленнее, чем без нее, при той же силе тяги винта. Если, двигаясь с баржей, катер выключит двигатель, то баржа до полной остановки пройдет в $\beta$ раз большее расстояние, чем катер. Во сколько раз масса баржи больше массы катера? Сила сопротивления воды прямо пропорциональна скорости.
Решение:
Поскольку трос длинный, сила сопротивления, действующая на одно судно (катер или баржу), не зависит от движения другого судна. Пусть $k_{1}$ и $k_{2}$ - коэффициенты пропорциональности между силой сопротивления и скоростью катера и баржи соответственно, $F_{0}$ - сила тяги винта, $v$ - скорость катера с баржой, тогда условия равномерности установившихся движений имеют вид
$F_{0} = k \cdot \alpha v$ и $F_{0} = k_{1}v + k_{2}v$,
откуда получаем соотношение
$k_{2} = ( \alpha - 1) k_{1}$.
Рассмотрим движение тела массой $m$, имеющего начальную скорость $v_{0}$, под действием силы сопротивления $\vec{F} = - k \vec{v}$, где $\vec{v}$ - мгновенная скорость тела. Из второго закона Ньютона в проекции на направление вдоль начальной скорости
$ma = - kv$
после интегрирования по времени до момента остановки получаем уравнение
$m \left . v \right |_{v_{0} }^{0} = - k \left . x \right |_{0}^{s}$, или $m(v_{0} - 0) = - k (0 - s)$,
из которого находим путь $s$, пройденный телом к моменту остановки:
$s = \frac{mv_{0}}{k}$.
Замечание. Предлагаем читателям самостоятельно вывести формулу $q = \frac{LI_{0}}{R}$ для заряда $q$, протекшего за все время в контуре, состоящем из катушки индуктивностью $L$ и резистора сопротивлением $R$, если начальная сила тока в контуре была равна $I_{0}$, и подумать о причинах сходства этой формулы с формулой для $s$, после чего сравнить свои выводы с описанными в литературе "электромеханическими аналогиями".
Пусть $m_{1}$ и $m_{2}$ - масса катера и баржи соответственно, тогда формула для $s$, примененная к их движению по инерции, приводит к уравнению
$\frac{m_{1}v}{k_{1} } \cdot \beta = \frac{m_{2}v}{k_{2} }$,
из которого получаем искомое отношение масс:
$\frac{m_{2} }{m_{1} } = ( \alpha - 1) \beta$.
Катер, равномерно тянущий баржу на длинном тросе, движется с ней в $\alpha$ раз медленнее, чем без нее, при той же силе тяги винта. Если, двигаясь с баржей, катер выключит двигатель, то баржа до полной остановки пройдет в $\beta$ раз большее расстояние, чем катер. Во сколько раз масса баржи больше массы катера? Сила сопротивления воды прямо пропорциональна скорости.
Решение:
Поскольку трос длинный, сила сопротивления, действующая на одно судно (катер или баржу), не зависит от движения другого судна. Пусть $k_{1}$ и $k_{2}$ - коэффициенты пропорциональности между силой сопротивления и скоростью катера и баржи соответственно, $F_{0}$ - сила тяги винта, $v$ - скорость катера с баржой, тогда условия равномерности установившихся движений имеют вид
$F_{0} = k \cdot \alpha v$ и $F_{0} = k_{1}v + k_{2}v$,
откуда получаем соотношение
$k_{2} = ( \alpha - 1) k_{1}$.
Рассмотрим движение тела массой $m$, имеющего начальную скорость $v_{0}$, под действием силы сопротивления $\vec{F} = - k \vec{v}$, где $\vec{v}$ - мгновенная скорость тела. Из второго закона Ньютона в проекции на направление вдоль начальной скорости
$ma = - kv$
после интегрирования по времени до момента остановки получаем уравнение
$m \left . v \right |_{v_{0} }^{0} = - k \left . x \right |_{0}^{s}$, или $m(v_{0} - 0) = - k (0 - s)$,
из которого находим путь $s$, пройденный телом к моменту остановки:
$s = \frac{mv_{0}}{k}$.
Замечание. Предлагаем читателям самостоятельно вывести формулу $q = \frac{LI_{0}}{R}$ для заряда $q$, протекшего за все время в контуре, состоящем из катушки индуктивностью $L$ и резистора сопротивлением $R$, если начальная сила тока в контуре была равна $I_{0}$, и подумать о причинах сходства этой формулы с формулой для $s$, после чего сравнить свои выводы с описанными в литературе "электромеханическими аналогиями".
Пусть $m_{1}$ и $m_{2}$ - масса катера и баржи соответственно, тогда формула для $s$, примененная к их движению по инерции, приводит к уравнению
$\frac{m_{1}v}{k_{1} } \cdot \beta = \frac{m_{2}v}{k_{2} }$,
из которого получаем искомое отношение масс:
$\frac{m_{2} }{m_{1} } = ( \alpha - 1) \beta$.
