Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13975
2020-04-09 
Оцените ошибку при фиксировании углового положения звезды, видимой с Земли под углом $\beta = 45^{ \circ}$ над горизонтом. Показатель преломления воздуха у поверхности Земли равен $n = 1,0003$.
Решение:
Положение звезды, видимой с Земли, отличается от истинного из-за преломления световых лучей атмосферой (рис.). Толщина атмосферы, т.е. высота, на которой практически нет воздуха и потому показатель преломления равен единице, составляет несколько десятков километров. Это гораздо меньше радиуса Земли ( $R_{з} = 6400 км$), поэтому атмосферу в условиях нашей задачи можно считать плоской. Ее показатель преломления плавно меняется от единицы в верхних слоях до значения $n > 1$ у поверхности Земли. Атмосферу можно рассматривать как набор бесконечно большого число тонких пластинок с определенными показателями преломления. На границах раздела выполняются соотношения
$n \sin \alpha_{1} = n_{2} \sin \alpha_{2} = n_{3} \sin \alpha_{3} \cdots = n_{N} \sin \alpha_{N}$,
поскольку угол преломления в каждом слое является углом падения для последующего слоя (рис.). Иными словами, выполняется соотношение
$n_{i} \sin \alpha_{i} = const$.
Этот важный закон, его называют обобщенным законом Снеллиуса, указывает на то, что наличие промежуточных слоев не сказывается на связи между углом падения в первой среде и углом преломления в последней. Если луч доходит до последней среды, не испытав полного внутреннего отражения где-то на своем пути, то промежуточные слои можно не учитывать.
От звезды идут параллельные лучи, падающие на верхние слои атмосферы под углом $\frac{ \pi }{2} - \alpha$, где $\alpha$ - истинное угловое положение звезды над горизонтом. А мы видим звезду под углом $\beta > \alpha$. По обобщенному закону Снеллиуса,
$\sin \left ( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right ) = n \sin \left ( \frac{ \pi }{2} - \beta \right )$, или $\cos \alpha = n \cos \beta$.
Отнимем от обеих частей последнего равенства $\cos \beta$. Учитывая, что $n - 1 \ll 1$ и потому $\beta - \alpha \ll \beta$, получим
$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha - \beta }{2} \sin \frac{ \alpha + \beta }{2} = ( \beta - \alpha ) \sin \beta = (n - 1) \cos \beta$.
Таким образом,
$\beta - \alpha = (n - 1) ctg \beta = 3 \cdot 10^{-4} рад = 1^{ \prime}$
- кажущаяся высота звезды над горизонтом больше истинной на одну угловую минуту.
Оцените ошибку при фиксировании углового положения звезды, видимой с Земли под углом $\beta = 45^{ \circ}$ над горизонтом. Показатель преломления воздуха у поверхности Земли равен $n = 1,0003$.
Решение:
Положение звезды, видимой с Земли, отличается от истинного из-за преломления световых лучей атмосферой (рис.). Толщина атмосферы, т.е. высота, на которой практически нет воздуха и потому показатель преломления равен единице, составляет несколько десятков километров. Это гораздо меньше радиуса Земли ( $R_{з} = 6400 км$), поэтому атмосферу в условиях нашей задачи можно считать плоской. Ее показатель преломления плавно меняется от единицы в верхних слоях до значения $n > 1$ у поверхности Земли. Атмосферу можно рассматривать как набор бесконечно большого число тонких пластинок с определенными показателями преломления. На границах раздела выполняются соотношения
$n \sin \alpha_{1} = n_{2} \sin \alpha_{2} = n_{3} \sin \alpha_{3} \cdots = n_{N} \sin \alpha_{N}$,
поскольку угол преломления в каждом слое является углом падения для последующего слоя (рис.). Иными словами, выполняется соотношение
$n_{i} \sin \alpha_{i} = const$.
Этот важный закон, его называют обобщенным законом Снеллиуса, указывает на то, что наличие промежуточных слоев не сказывается на связи между углом падения в первой среде и углом преломления в последней. Если луч доходит до последней среды, не испытав полного внутреннего отражения где-то на своем пути, то промежуточные слои можно не учитывать.
От звезды идут параллельные лучи, падающие на верхние слои атмосферы под углом $\frac{ \pi }{2} - \alpha$, где $\alpha$ - истинное угловое положение звезды над горизонтом. А мы видим звезду под углом $\beta > \alpha$. По обобщенному закону Снеллиуса,
$\sin \left ( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right ) = n \sin \left ( \frac{ \pi }{2} - \beta \right )$, или $\cos \alpha = n \cos \beta$.
Отнимем от обеих частей последнего равенства $\cos \beta$. Учитывая, что $n - 1 \ll 1$ и потому $\beta - \alpha \ll \beta$, получим
$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha - \beta }{2} \sin \frac{ \alpha + \beta }{2} = ( \beta - \alpha ) \sin \beta = (n - 1) \cos \beta$.
Таким образом,
$\beta - \alpha = (n - 1) ctg \beta = 3 \cdot 10^{-4} рад = 1^{ \prime}$
- кажущаяся высота звезды над горизонтом больше истинной на одну угловую минуту.
