Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13974
2020-04-09 
Точки $A_{1}, \cdots A_{2017}$ - вершины правильного 2017-угольника, точка $S$ - его центр. Между соседними вершинами многоугольника, за исключением 1-й и 2017-й, включены одинаковые идеальные батарейки с напряжением $U_{0}$ так, как показано на рисунке. Также между каждой вершиной и точкой $S$ включен вольтметр с соответствующим номером. Все вольтметры одинаковые, в точке $S$ есть электрический контакт.
1) На сколько отличаются показания первого и десятого вольтметров?
2) Что показывает вольтметре номером $N$?
3) Определите номер вольтметра с нулевыми показаниями.
Решение:
Пусть потенциал первой точки равен нулю. Заметим, что потенциалы вершин многоугольника образуют арифметическую прогрессию:
$\phi_{1} = 0, \phi_{} = U_{0}, \phi_{3} = 2U_{0}, \cdots , \phi_{N} = (N - 1)U_{0}$.
Обозначим потенциал точки $S$ через $\phi_{5}$. Определив этот потенциал, мы решим задачу. Первый вольтметр показывает (без учета знака) $U_{1} = \phi_{S} - \phi_{1}$, а десятый - $U_{10} = \phi_{S} - \phi_{10}$. Разность показаний этих вольтметров равна
$\Delta U = U_{1} - U_{10} = \phi_{10} - \phi_{1} = 9U_{0}$.
Для тока, текущего через $k$-й вольтметр, справедливо равенство
$i_{k} = \frac{ \phi_{k} - \phi_{S} }{R_{V} }$.
Если ток положительный - он втекает в узел $S$, где соединяются все вольтметры. Если отрицательный, то наоборот - истекает из этого узла. Очевидно, сумма всех этих токов должна быть равна нулю:
$\sum_{k = 1}^{2017} i_{k} = 0$, откуда следует $\sum_{k=1}^{2017} \phi_{k} = 2017 \phi_{S}$.
В левой части последнего равенства стоит сумма арифметической прогрессии, которая равна
$\sum_{k = 1}^{2017} \phi_{k} = 2016U_{0} \cdot \frac{2017}{2}$.
Теперь можно определить потенциал точки $S$:
$\phi_{S} = 1008U_{0}$.
Таким образом, первый вольтметр показывает $1008U_{0}$, второй показывает $1007U_{0}$ и т.д. (знак мы здесь не учитываем, так как считаем, что каждый вольтметр подключен в нужной полярности). Для показаний $N$-го вольтметра справедлива формула
$U_{N} = |(N - 1009)U_{0}|$.
Итак:
1) $\Delta U_{1-10} = 9U_{0}$;
2) $U_{N} = |(N - 1009) U_{0}|$;
3) $N_{0} = 1009$.
Точки $A_{1}, \cdots A_{2017}$ - вершины правильного 2017-угольника, точка $S$ - его центр. Между соседними вершинами многоугольника, за исключением 1-й и 2017-й, включены одинаковые идеальные батарейки с напряжением $U_{0}$ так, как показано на рисунке. Также между каждой вершиной и точкой $S$ включен вольтметр с соответствующим номером. Все вольтметры одинаковые, в точке $S$ есть электрический контакт.
1) На сколько отличаются показания первого и десятого вольтметров?
2) Что показывает вольтметре номером $N$?
3) Определите номер вольтметра с нулевыми показаниями.
Решение:
Пусть потенциал первой точки равен нулю. Заметим, что потенциалы вершин многоугольника образуют арифметическую прогрессию:
$\phi_{1} = 0, \phi_{} = U_{0}, \phi_{3} = 2U_{0}, \cdots , \phi_{N} = (N - 1)U_{0}$.
Обозначим потенциал точки $S$ через $\phi_{5}$. Определив этот потенциал, мы решим задачу. Первый вольтметр показывает (без учета знака) $U_{1} = \phi_{S} - \phi_{1}$, а десятый - $U_{10} = \phi_{S} - \phi_{10}$. Разность показаний этих вольтметров равна
$\Delta U = U_{1} - U_{10} = \phi_{10} - \phi_{1} = 9U_{0}$.
Для тока, текущего через $k$-й вольтметр, справедливо равенство
$i_{k} = \frac{ \phi_{k} - \phi_{S} }{R_{V} }$.
Если ток положительный - он втекает в узел $S$, где соединяются все вольтметры. Если отрицательный, то наоборот - истекает из этого узла. Очевидно, сумма всех этих токов должна быть равна нулю:
$\sum_{k = 1}^{2017} i_{k} = 0$, откуда следует $\sum_{k=1}^{2017} \phi_{k} = 2017 \phi_{S}$.
В левой части последнего равенства стоит сумма арифметической прогрессии, которая равна
$\sum_{k = 1}^{2017} \phi_{k} = 2016U_{0} \cdot \frac{2017}{2}$.
Теперь можно определить потенциал точки $S$:
$\phi_{S} = 1008U_{0}$.
Таким образом, первый вольтметр показывает $1008U_{0}$, второй показывает $1007U_{0}$ и т.д. (знак мы здесь не учитываем, так как считаем, что каждый вольтметр подключен в нужной полярности). Для показаний $N$-го вольтметра справедлива формула
$U_{N} = |(N - 1009)U_{0}|$.
Итак:
1) $\Delta U_{1-10} = 9U_{0}$;
2) $U_{N} = |(N - 1009) U_{0}|$;
3) $N_{0} = 1009$.
