Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13973
2020-04-09 
Один моль идеального одноатомного газа совершает замкнутый цикл, состоящий из изотермы 1-2 и процессов 2-3 и 3-1, в которых давление является линейной функцией объема, как показано на рисунке. Известно, что в состояниях 1 и 2 давление газа равно $p_{1}$ и $p_{2}$ соответственно. При каких давлениях в состоянии 3 в нем достигается максимальная температура газа за весь цикл?
Решение:
Для того чтобы в состоянии 3 достигалась максимальная температура газа за весь цикл, необходимо, чтобы в этой точке изотерма касалась графика процесса 3-1. Это возможно при том условии, что давление в состоянии 3 не меньше некоторого минимального значения $p_{3min}$. Рассмотрим произвольный линейный процесс, изображенный на рисунке, при некотором $V_{0} < W$, и найдем, при каких условиях температура газа в этом процессе повышается или понижается. Запишем уравнение процесса:
$p(V) = p_{0} \frac{W - V}{W - V_{0} }$.
Для малого участка процесса, на котором газ расширяется от объема $V$ до $V + \Delta V$, давление изменяется от $p$ до $p + \Delta p$, причем
$\Delta p = - \frac{p_{0} }{W - V_{0} } \Delta V$.
Отсюда, с учетом уравнения состояния $pV = \nu RT$, получаем
$\nu R \Delta T = p \Delta V + V \Delta p = p_{0} \frac{W - 2V}{W - V_{0} } \Delta V$.
Следовательно, температура газа повышается ($\Delta T > 0$) при $V < \frac{W}{2}$ и понижается ($\Delta T < 0$) при $V > \frac{W}{2}$, т.е. изотерма касается графика рассматриваемого линейного процесса в точке A, которая соответствует объему $\frac{W}{2}$ (рис.). Заметим, что треугольник $0AW$ равнобедренный.
Пусть точка 3 соответствует минимально возможному значению давления $p_{3min}$ , причем в этой точке изотерма касается графика процесса 3-1. Тогда (рис.) треугольник $03W$ равнобедренный, $W = 2V_{3}$ и $V_{4} = W - V = 2V_{3} - V_{1}$. Так как процесс 1-2 изотермический и участок 2-3 представляет собой прямую пропорциональную зависимость, то
$p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2}$ и $\frac{p_{1}}{V_{4}} = \frac{p_{2}}{V_{2}}$,
откуда
$\frac{V_{1}}{V_{4} } = \frac{p_{2}^{2} }{p_{1}^{2}}$ и $\frac{2V_{3} - V_{4}}{V_{4} } = \frac{p_{2}^{2} }{p_{1}^{2} }$.
Следовательно,
$\frac{V_{3}}{V_{4} } = \frac{p_{1}^{2} + p_{2}^{2}}{2p_{1}^{2} }$,
и окончательно получаем
$p_{3} \geq p_{3min} = \frac{V_{3} }{V_{4} } p_{1} = \frac{p_{1}^{2} + p_{2}^{2} }{2p_{1} }$.
Один моль идеального одноатомного газа совершает замкнутый цикл, состоящий из изотермы 1-2 и процессов 2-3 и 3-1, в которых давление является линейной функцией объема, как показано на рисунке. Известно, что в состояниях 1 и 2 давление газа равно $p_{1}$ и $p_{2}$ соответственно. При каких давлениях в состоянии 3 в нем достигается максимальная температура газа за весь цикл?
Решение:
Для того чтобы в состоянии 3 достигалась максимальная температура газа за весь цикл, необходимо, чтобы в этой точке изотерма касалась графика процесса 3-1. Это возможно при том условии, что давление в состоянии 3 не меньше некоторого минимального значения $p_{3min}$. Рассмотрим произвольный линейный процесс, изображенный на рисунке, при некотором $V_{0} < W$, и найдем, при каких условиях температура газа в этом процессе повышается или понижается. Запишем уравнение процесса:
$p(V) = p_{0} \frac{W - V}{W - V_{0} }$.
Для малого участка процесса, на котором газ расширяется от объема $V$ до $V + \Delta V$, давление изменяется от $p$ до $p + \Delta p$, причем
$\Delta p = - \frac{p_{0} }{W - V_{0} } \Delta V$.
Отсюда, с учетом уравнения состояния $pV = \nu RT$, получаем
$\nu R \Delta T = p \Delta V + V \Delta p = p_{0} \frac{W - 2V}{W - V_{0} } \Delta V$.
Следовательно, температура газа повышается ($\Delta T > 0$) при $V < \frac{W}{2}$ и понижается ($\Delta T < 0$) при $V > \frac{W}{2}$, т.е. изотерма касается графика рассматриваемого линейного процесса в точке A, которая соответствует объему $\frac{W}{2}$ (рис.). Заметим, что треугольник $0AW$ равнобедренный.
Пусть точка 3 соответствует минимально возможному значению давления $p_{3min}$ , причем в этой точке изотерма касается графика процесса 3-1. Тогда (рис.) треугольник $03W$ равнобедренный, $W = 2V_{3}$ и $V_{4} = W - V = 2V_{3} - V_{1}$. Так как процесс 1-2 изотермический и участок 2-3 представляет собой прямую пропорциональную зависимость, то
$p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2}$ и $\frac{p_{1}}{V_{4}} = \frac{p_{2}}{V_{2}}$,
откуда
$\frac{V_{1}}{V_{4} } = \frac{p_{2}^{2} }{p_{1}^{2}}$ и $\frac{2V_{3} - V_{4}}{V_{4} } = \frac{p_{2}^{2} }{p_{1}^{2} }$.
Следовательно,
$\frac{V_{3}}{V_{4} } = \frac{p_{1}^{2} + p_{2}^{2}}{2p_{1}^{2} }$,
и окончательно получаем
$p_{3} \geq p_{3min} = \frac{V_{3} }{V_{4} } p_{1} = \frac{p_{1}^{2} + p_{2}^{2} }{2p_{1} }$.
