Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13971
2020-04-09 
Важным параметром жидкостного насоса является его напорно-расходная характеристика, которая показывает, какой перепад давлений $\Delta p$ (напор) может обеспечить насос в зависимости от количества жидкости $\mu$, которое он может прокачать в единицу времени (расход). Эта зависимость, как правило, является убывающей функцией: при большом расходе насос может обеспечить только маленький напор и наоборот. Имеется насос, напорно-расходная характеристика которого имеет вид $\Delta p = p_{0} - \alpha \mu^{2}$, где $p_{0}$ и $\alpha$ - известные числа с соответствующими размерностями. При каком расходе насос развивает наибольшую мощность? Чему равна эта наибольшая мощность?
Решение:
Пусть $v$ - скорость движения жидкости через насос, $S$ - площадь сечения трубопроводов насоса. Тогда за малое время $\Delta t$ насос перемещает массу жидкости $\Delta m = \rho Sv \Delta t$ (здесь $\rho$ - плотность жидкости), и, следовательно,
$\mu = \frac{ \Delta m}{ \Delta t} = \rho Sv$.
С другой стороны, поскольку насос действовал на эту жидкость силой $F = \Delta p S$, то его мощность равна
$N = Fv = \Delta p Sv = \frac{ \Delta p \mu}{ \rho}$.
Таким образом, мощность, развиваемая насосом, есть (с точностью до постоянного множителя $\rho$) произведение напора на расход:
$N \sim \Delta p \mu = p_{0} \mu - \alpha \mu^{3}$.
Чтобы найти максимальную мощность насоса, нужно найти максимум этого выражения. Дифференцируя $N$ по $\mu$ и приравнивая производную к нулю, находим напор, отвечающий максимальной мощности, и саму максимальную мощность:
$\mu_{max} = \sqrt{ \frac{p_{0} }{3 \alpha}}, N_{max} = \frac{2p_{0} }{3 \rho} \sqrt{ \frac{p_{0} }{3 \alpha } }$.
Важным параметром жидкостного насоса является его напорно-расходная характеристика, которая показывает, какой перепад давлений $\Delta p$ (напор) может обеспечить насос в зависимости от количества жидкости $\mu$, которое он может прокачать в единицу времени (расход). Эта зависимость, как правило, является убывающей функцией: при большом расходе насос может обеспечить только маленький напор и наоборот. Имеется насос, напорно-расходная характеристика которого имеет вид $\Delta p = p_{0} - \alpha \mu^{2}$, где $p_{0}$ и $\alpha$ - известные числа с соответствующими размерностями. При каком расходе насос развивает наибольшую мощность? Чему равна эта наибольшая мощность?
Решение:
Пусть $v$ - скорость движения жидкости через насос, $S$ - площадь сечения трубопроводов насоса. Тогда за малое время $\Delta t$ насос перемещает массу жидкости $\Delta m = \rho Sv \Delta t$ (здесь $\rho$ - плотность жидкости), и, следовательно,
$\mu = \frac{ \Delta m}{ \Delta t} = \rho Sv$.
С другой стороны, поскольку насос действовал на эту жидкость силой $F = \Delta p S$, то его мощность равна
$N = Fv = \Delta p Sv = \frac{ \Delta p \mu}{ \rho}$.
Таким образом, мощность, развиваемая насосом, есть (с точностью до постоянного множителя $\rho$) произведение напора на расход:
$N \sim \Delta p \mu = p_{0} \mu - \alpha \mu^{3}$.
Чтобы найти максимальную мощность насоса, нужно найти максимум этого выражения. Дифференцируя $N$ по $\mu$ и приравнивая производную к нулю, находим напор, отвечающий максимальной мощности, и саму максимальную мощность:
$\mu_{max} = \sqrt{ \frac{p_{0} }{3 \alpha}}, N_{max} = \frac{2p_{0} }{3 \rho} \sqrt{ \frac{p_{0} }{3 \alpha } }$.
