Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1397
2016-11-19 
Тонкое резиновое кольцо массой $m$ и радиуса $R_{0}$ раскрутили до угловой скорости $\omega$. Найти новый радиус кольца, если жесткость резины $k$. Внешние силы не учитывать.
Решение:
Как мы уже отмечали, в задачах на динамику следует стремиться, в первую очередь, к тому, чтобы записать Закон Ньютона. Для всего кольца это сделать невозмолшо, поскольку различные фрагменты кольца имеют различные (по направлению) ускорения. Поэтому, видимо, следует попытаться записать закон Ньютона для небольшого (с длиной, в пределе стремящейся к пулю) фрагмента, для всех элементов которого можно с хорошей точностью считать ускорение одинаковым.
Пусть мысленно выбранный фрагмент кольца опирается на угол $2 \alpha$.
Обозначим через $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ силы упругости, действующие на фрагмент со стороны соседних элементов кольца. Записываем закон Ньютона для выделенного фрагмента кольца
$\vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} = \Delta m \vec{a}$
в проекции на ось х:
$T_{1} \sin \alpha + T_{2} \sin \alpha \approx \Delta ma$, (1)
где $\Delta m$ — масса фрагмента. Знак приближенного ра-понства связан с тем, что различные точки фрагмента имеют отличающиеся по направлению ускорения.
В силу симметрии (кольцо растянуто равномерно):
$T_{1} = T_{2} = T$. (2)
Из кинематики вращательного движения имеем:
$a = \omega^{2} R$. (3)
Запишем закон Гука для кольца:
$T = k ( 2 \pi R - 2 \pi R_{0})$. (4)
Чтобы обосновать соотношение (4), следует разбить все кольцо на $n$ равных (для простоты) частей, причем при больших $n$ каждый из фрагментов длиной $\Delta x_{i}$ можно считать прямолинейным. Затем применить для каждого фрагмента закон Гука в обычной форме:
$T = k_{n} ( \Delta x_{i} - \Delta x_{i0})$,
где $k_{n} = kn$ — жесткость фрагмента кольца
$\Delta x_{i0} = \frac{2 \pi R_{0}}{n}$.
Складывая $n$ соотношений для закона Гука, приходим к равенству (4).
Нетрудно убедиться, что полученных уравпений недостаточно, чтобы получить решение задачи. Для нахождения связи между $\alpha$ и $\Delta m$ удобно ввести физическую величину $\rho$ — массу кольца, приходящуюся на единицу угла (1 радиан). Очевидно, что $\rho = \frac{m}{2 \pi}$, где $2 \pi$ угол, на который опирается вся масса кольца $m$.
Масса $\Delta m$, приходящаяся на угол $2 \alpha$, равна:
$\Delta m = \rho 2 \alpha = \frac{2}{2 \pi} 2 \alpha$. (5)
Учитывая, что для малых углов:
$\sin \alpha \approx \alpha$, (6)
из системы уравнений (1—5) окончательно получаем:
$R = \frac{4 \pi k R_{0}}{4 \pi k - \frac{ m \omega^{2}}{ \pi}}$.
Выражение для $R$ теряет смысл, когда знаменатель обращается в нуль или становится отрицательным, то есть при $\omega \geq \sqrt{ \frac{4 \pi^{2} k}{m}} = \omega_{0}$. Физический смысл этого этого ограничения ($\omega < \sqrt{ \frac{4 \pi^{2} k}{m}}$) обсуждался в задаче 1391 стационарное вращение при $\omega \geq \omega_{0}$ невозможно, радиус кольца увеличивается.
Тонкое резиновое кольцо массой $m$ и радиуса $R_{0}$ раскрутили до угловой скорости $\omega$. Найти новый радиус кольца, если жесткость резины $k$. Внешние силы не учитывать.
Решение:
Как мы уже отмечали, в задачах на динамику следует стремиться, в первую очередь, к тому, чтобы записать Закон Ньютона. Для всего кольца это сделать невозмолшо, поскольку различные фрагменты кольца имеют различные (по направлению) ускорения. Поэтому, видимо, следует попытаться записать закон Ньютона для небольшого (с длиной, в пределе стремящейся к пулю) фрагмента, для всех элементов которого можно с хорошей точностью считать ускорение одинаковым.
Пусть мысленно выбранный фрагмент кольца опирается на угол $2 \alpha$.
Обозначим через $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ силы упругости, действующие на фрагмент со стороны соседних элементов кольца. Записываем закон Ньютона для выделенного фрагмента кольца
$\vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} = \Delta m \vec{a}$
в проекции на ось х:
$T_{1} \sin \alpha + T_{2} \sin \alpha \approx \Delta ma$, (1)
где $\Delta m$ — масса фрагмента. Знак приближенного ра-понства связан с тем, что различные точки фрагмента имеют отличающиеся по направлению ускорения.
В силу симметрии (кольцо растянуто равномерно):
$T_{1} = T_{2} = T$. (2)
Из кинематики вращательного движения имеем:
$a = \omega^{2} R$. (3)
Запишем закон Гука для кольца:
$T = k ( 2 \pi R - 2 \pi R_{0})$. (4)
Чтобы обосновать соотношение (4), следует разбить все кольцо на $n$ равных (для простоты) частей, причем при больших $n$ каждый из фрагментов длиной $\Delta x_{i}$ можно считать прямолинейным. Затем применить для каждого фрагмента закон Гука в обычной форме:
$T = k_{n} ( \Delta x_{i} - \Delta x_{i0})$,
где $k_{n} = kn$ — жесткость фрагмента кольца
$\Delta x_{i0} = \frac{2 \pi R_{0}}{n}$.
Складывая $n$ соотношений для закона Гука, приходим к равенству (4).
Нетрудно убедиться, что полученных уравпений недостаточно, чтобы получить решение задачи. Для нахождения связи между $\alpha$ и $\Delta m$ удобно ввести физическую величину $\rho$ — массу кольца, приходящуюся на единицу угла (1 радиан). Очевидно, что $\rho = \frac{m}{2 \pi}$, где $2 \pi$ угол, на который опирается вся масса кольца $m$.
Масса $\Delta m$, приходящаяся на угол $2 \alpha$, равна:
$\Delta m = \rho 2 \alpha = \frac{2}{2 \pi} 2 \alpha$. (5)
Учитывая, что для малых углов:
$\sin \alpha \approx \alpha$, (6)
из системы уравнений (1—5) окончательно получаем:
$R = \frac{4 \pi k R_{0}}{4 \pi k - \frac{ m \omega^{2}}{ \pi}}$.
Выражение для $R$ теряет смысл, когда знаменатель обращается в нуль или становится отрицательным, то есть при $\omega \geq \sqrt{ \frac{4 \pi^{2} k}{m}} = \omega_{0}$. Физический смысл этого этого ограничения ($\omega < \sqrt{ \frac{4 \pi^{2} k}{m}}$) обсуждался в задаче 1391 стационарное вращение при $\omega \geq \omega_{0}$ невозможно, радиус кольца увеличивается.
