Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13969
2020-04-09 
Трехзвенный механизм представляет собой три связанных шарнирно стержня $O_{1}A, AB$ и $BO_{2}$, прикрепленных к неподвижным осям $O_{1}$ и $O_{2}$. Размеры механизма (в условных единицах) и его расположение в некоторый момент времени показаны на рисунке ($AB = 5$, угол между звеньями $AO_{1}$ и $BO_{2}$ - прямой). Стержень $O_{1}A$ вращается вокруг оси $O_{1}$ так, что величина скорости точки $A$ постоянна и равна $v$ (направление вращения стержня $AO_{1}$ показано стрелкой). Найдите в этот момент скорость точки $M$, делящей стержень $AB$ в отношении 3:1 ($AM : MB = 3:1$).
Решение:
С одной стороны, точки А и В принадлежат стержням $O_{1}A$ и $O_{2}B$, поэтому их скорости $\vec{v}$ и \$vec{v}_{1}$ направлены перпендикулярно этим стержням (рис.).
С другой стороны, эти точки принадлежат не-деформируемому стержню АВ, и потому проекции их скоростей на сам стержень равны друг другу:
$v \cos \alpha = v_{1} \sin \alpha$.
Отсюда, с учетом того что $tg \alpha = \frac{3}{4}$ (это следует из геометрии механизма), получаем
$v_{1} = \frac{4}{3}v$.
Поскольку точка О лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям двух точек стержня АВ, то в этой точке расположен мгновенный центр вращения этого стержня, а его угловая скорость равна
$\omega_{AB} = \frac{v}{OA} = \frac{v_{1}}{OB}$.
Тогда для скорости точки М имеем
$v_{M} = \omega_{AB} \cdot OM$.
Длину отрезка ОМ найдем из треугольника ОМВ по теореме косинусов:
$OM = \sqrt{ OB^{2} + MB^{2} - 2OB \cdot MB \cos \alpha} = \frac{7 \sqrt{5} }{5}$ (у.е.).
Окончательно получаем
$v_{M} = \frac{7 \sqrt{5}}{12} v$.
Трехзвенный механизм представляет собой три связанных шарнирно стержня $O_{1}A, AB$ и $BO_{2}$, прикрепленных к неподвижным осям $O_{1}$ и $O_{2}$. Размеры механизма (в условных единицах) и его расположение в некоторый момент времени показаны на рисунке ($AB = 5$, угол между звеньями $AO_{1}$ и $BO_{2}$ - прямой). Стержень $O_{1}A$ вращается вокруг оси $O_{1}$ так, что величина скорости точки $A$ постоянна и равна $v$ (направление вращения стержня $AO_{1}$ показано стрелкой). Найдите в этот момент скорость точки $M$, делящей стержень $AB$ в отношении 3:1 ($AM : MB = 3:1$).
Решение:
С одной стороны, точки А и В принадлежат стержням $O_{1}A$ и $O_{2}B$, поэтому их скорости $\vec{v}$ и \$vec{v}_{1}$ направлены перпендикулярно этим стержням (рис.).
С другой стороны, эти точки принадлежат не-деформируемому стержню АВ, и потому проекции их скоростей на сам стержень равны друг другу:
$v \cos \alpha = v_{1} \sin \alpha$.
Отсюда, с учетом того что $tg \alpha = \frac{3}{4}$ (это следует из геометрии механизма), получаем
$v_{1} = \frac{4}{3}v$.
Поскольку точка О лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям двух точек стержня АВ, то в этой точке расположен мгновенный центр вращения этого стержня, а его угловая скорость равна
$\omega_{AB} = \frac{v}{OA} = \frac{v_{1}}{OB}$.
Тогда для скорости точки М имеем
$v_{M} = \omega_{AB} \cdot OM$.
Длину отрезка ОМ найдем из треугольника ОМВ по теореме косинусов:
$OM = \sqrt{ OB^{2} + MB^{2} - 2OB \cdot MB \cos \alpha} = \frac{7 \sqrt{5} }{5}$ (у.е.).
Окончательно получаем
$v_{M} = \frac{7 \sqrt{5}}{12} v$.
