Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13965
2020-04-09 
Луч света падает из среды с показателем преломления $n_{0}$ под углом $\alpha_{0}$ на границу раздела со средой, показатель преломления которой зависит только от одной координаты $x$ (см. рис.) по закону $n(x) = \sqrt{ \left ( \frac{a}{x + b} \right )^{2} + n_{0}^{2} \sin^{2} \alpha_{0} }$, где $a$ и $b$ - некоторые положительные константы. Найдите уравнение траектории светового луча в этой среде.
Решение:
Чтобы найти уравнение траектории, нам будет полезно найти тангенс угла $\alpha$ как функцию $x$. Для чего нам нужен тангенс? Вспомним, что тангенс угла наклона касательной к функции $y(x)$ равен производной $y^{ \prime} (x)$. А зная производную, мы сможем найти и саму функцию. Из формулы для $\sin \alpha(x)$ (см. предыдущую задачу) с помощью основного тригонометрического тождества несложно найти тангенс:
$tg \alpha (x) = \frac{n_{0} \sin \alpha_{0} }{ \sqrt{n^{2}(x) - n_{0}^{2} \sin^{2} \alpha_{0} } }$.
Приравнивая левую часть этой формулы производной функции $y(x)$, в нашем случае получаем
$y^{ \prime}(x) = \frac{n_{0} \sin \alpha_{0} }{a}b + \frac{n_{0} \sin \alpha_{0} }{a}x$.
Беря первообразную, находим саму функцию $y(x)$ (с точностью до константы):
$y(x) = \frac{n_{0} \sin \alpha_{0} }{a} bx + \frac{n_{0} \sin \alpha_{0} }{2a} x^{2} + C$.
Константа $C$ определяется из условия, что при $x = 0$ должно быть $y = 0$ (именно так мы ввели систему координат). Получаем $C = 0$. Таким образом, в данной среде траектория луча будет представлять собой часть параболы.
Луч света падает из среды с показателем преломления $n_{0}$ под углом $\alpha_{0}$ на границу раздела со средой, показатель преломления которой зависит только от одной координаты $x$ (см. рис.) по закону $n(x) = \sqrt{ \left ( \frac{a}{x + b} \right )^{2} + n_{0}^{2} \sin^{2} \alpha_{0} }$, где $a$ и $b$ - некоторые положительные константы. Найдите уравнение траектории светового луча в этой среде.
Решение:
Чтобы найти уравнение траектории, нам будет полезно найти тангенс угла $\alpha$ как функцию $x$. Для чего нам нужен тангенс? Вспомним, что тангенс угла наклона касательной к функции $y(x)$ равен производной $y^{ \prime} (x)$. А зная производную, мы сможем найти и саму функцию. Из формулы для $\sin \alpha(x)$ (см. предыдущую задачу) с помощью основного тригонометрического тождества несложно найти тангенс:
$tg \alpha (x) = \frac{n_{0} \sin \alpha_{0} }{ \sqrt{n^{2}(x) - n_{0}^{2} \sin^{2} \alpha_{0} } }$.
Приравнивая левую часть этой формулы производной функции $y(x)$, в нашем случае получаем
$y^{ \prime}(x) = \frac{n_{0} \sin \alpha_{0} }{a}b + \frac{n_{0} \sin \alpha_{0} }{a}x$.
Беря первообразную, находим саму функцию $y(x)$ (с точностью до константы):
$y(x) = \frac{n_{0} \sin \alpha_{0} }{a} bx + \frac{n_{0} \sin \alpha_{0} }{2a} x^{2} + C$.
Константа $C$ определяется из условия, что при $x = 0$ должно быть $y = 0$ (именно так мы ввели систему координат). Получаем $C = 0$. Таким образом, в данной среде траектория луча будет представлять собой часть параболы.
