Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13964
2020-04-09 
Луч света падает из среды с показателем преломления $n_{0}$ под углом $\alpha_{0}$ на границу раздела со средой, показатель преломления которой зависит только от одной координаты $x$ (рис.) по закону
$n(x) = \sqrt{ \left ( \frac{a}{ x+ b } - c \right )^{2} + n_{0}^{2} \sin^{2} \alpha_{0} }$, где $a, b$ и $c$
- некоторые положительные константы, $a > bc$. На какую максимальную глубину свет проникнет в эту среду?
Решение:
Прежде всего заметим, что не надо пугаться столь сложной зависимости $n(x)$ - мы специально выбрали ее такой, чтобы решение было проще.
Применим прием, который встречается во многих физических задачах: разобьем среду с переменным показателем преломления $n(x)$ на множество тонких параллельных слоев, в каждом из которых показатель преломления можно приближенно считать постоянным (рис.). Угол, который луч света образует с осью $x$, будет разным в разных слоях. Но из закона преломления следует, что произведение синуса этого угла на показатель преломления постоянно во всех слоях: $n \sin \alpha = const$, причем $const = n_{0} \sin \alpha_{0}$. Переходя к пределу бесконечно малой толщины слоев, мы получим уравнение $n(x) \sin \alpha(x) = n_{0} \sin \alpha_{0}$, откуда можно выразить синус угла, который является теперь функцией координаты:
$\sin \alpha (x) = \frac{n_{0} \sin \alpha_{0} }{n(x)}$.
Видим, что при данной в задаче функции $n(x)$ обе части этого равенства возрастают с ростом $x$. Однако синус любого угла не может превысить единицы. Отсюда можно найти максимальную глубину проникновения луча в среду. Предельная глубина $x_{пр}$ проникновения луча в среду соответствует случаю, когда $\sin \alpha ( x_{пр}) = 1$. Остается подставить данную в задаче функцию $n(x)$ в уравнение
$\frac{n_{0} \sin \alpha_{0}}{n(x_{пр} )} = 1$,
откуда найдем
$x_{пр} = \frac{a}{c} - b$.
Луч света падает из среды с показателем преломления $n_{0}$ под углом $\alpha_{0}$ на границу раздела со средой, показатель преломления которой зависит только от одной координаты $x$ (рис.) по закону
$n(x) = \sqrt{ \left ( \frac{a}{ x+ b } - c \right )^{2} + n_{0}^{2} \sin^{2} \alpha_{0} }$, где $a, b$ и $c$
- некоторые положительные константы, $a > bc$. На какую максимальную глубину свет проникнет в эту среду?
Решение:
Прежде всего заметим, что не надо пугаться столь сложной зависимости $n(x)$ - мы специально выбрали ее такой, чтобы решение было проще.
Применим прием, который встречается во многих физических задачах: разобьем среду с переменным показателем преломления $n(x)$ на множество тонких параллельных слоев, в каждом из которых показатель преломления можно приближенно считать постоянным (рис.). Угол, который луч света образует с осью $x$, будет разным в разных слоях. Но из закона преломления следует, что произведение синуса этого угла на показатель преломления постоянно во всех слоях: $n \sin \alpha = const$, причем $const = n_{0} \sin \alpha_{0}$. Переходя к пределу бесконечно малой толщины слоев, мы получим уравнение $n(x) \sin \alpha(x) = n_{0} \sin \alpha_{0}$, откуда можно выразить синус угла, который является теперь функцией координаты:
$\sin \alpha (x) = \frac{n_{0} \sin \alpha_{0} }{n(x)}$.
Видим, что при данной в задаче функции $n(x)$ обе части этого равенства возрастают с ростом $x$. Однако синус любого угла не может превысить единицы. Отсюда можно найти максимальную глубину проникновения луча в среду. Предельная глубина $x_{пр}$ проникновения луча в среду соответствует случаю, когда $\sin \alpha ( x_{пр}) = 1$. Остается подставить данную в задаче функцию $n(x)$ в уравнение
$\frac{n_{0} \sin \alpha_{0}}{n(x_{пр} )} = 1$,
откуда найдем
$x_{пр} = \frac{a}{c} - b$.
