Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13963
2020-04-09 
Жители деревни A продают свой дом, где они жили вместе с кошкой. Решив, что новым хозяевам кошка не понравится, они отвезли ее в деревню B (рис.), проехав на машине $a = 3 км$ до T-образного перекрестка и еще $b = 5 км$ до деревни B, оставили ее там, вернулись обратно и продали дом. Кошка
же надеется, что новым, хозяевам она понравится. Представим, что кошка может вернуться домой, причем за минимальное время. Она может двигаться по дороге со скоростью $v_{1} = 4 км/ч$, а по полю - со скоростью $v_{2} = 3,5 км/ч$.
1) По какой траектории должна двигаться кошка, чтобы вернуться домой за минимальное время? Чему равно это время?
2) Решите ту же задачу, если скорость кошки по полю равна $v_{2} = 2,5 км/ч$, а все остальные данные прежние.
Решение:
Как же нужно двигаться кошке? Может быть, все время по дороге? Может, как-то срезать угол? А может быть, все время двигаться по полю? Заметим, что решить эту задачу чисто математически, с помощью исследования функции, будет не так просто, как предыдущую задачу, поскольку мы будем иметь дело с функцией двух переменных. Если кошка срезает угол, то нужно найти две точки: ту, где кошка должна свернуть в поле, и ту, где она должна снова выйти на дорогу. И вот здесь как раз полезна оптическая аналогия. Согласно принципу Ферма, луч света движется из начальной точки в конечную по такому пути, при котором время распространения света имеет локальный минимум. Будем считать дорогу средой с показателем преломления 1, а поле - средой с показателем преломления $n = \frac{v_{1} }{v_{2} }$. Рассмотрим траекторию, при которой свет
претерпевает преломление на границе этих двух сред (рис.). При этом угол преломления равен критическому углу, определяемому равенством
$\sin \alpha_{кр} = \frac{1}{n} = \frac{v_{2} }{v_{1} }$.
С другой стороны, из рисунка находим
$\sin \alpha_{кр} = \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + a^{2} } }$,
где $x$ - расстояние от перекрестка до той точки, где кошка должна свернуть в поле. Из этих уравнений имеем
$x = \frac{av_{1} }{ \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } }, \sqrt{x^{2} + a^{2} } = \frac{av_{1}^{2} }{ v_{2} \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2} } }$.
Тогда время движения кошки по этому пути будет равно
$t = \frac{b - x}{v_{1}} + \frac{ \sqrt{x^{2} + a^{2} } }{v_{2} } = \frac{b}{v_{1} } + \frac{a \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2} } }{v_{2}^{2} }$.
Но вспомним, что принцип Ферма позволяет находить траектории, обеспечивающие локальные минимумы времени распространения света, но не глобальный минимум. Понятно, что если скорость кошки в поле будет очень маленькой, то кошке будет выгодно бежать все время по дороге (рис.). В этом случае время движения кошки будет равно
$T = \frac{a + b}{v_{1} }$.
Таким образом, чтобы найти глобальный минимум времени движения кошки, нужно сравнить выражения для $t$ и $T$, или, что то же самое, выражения $\frac{ \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2} } }{v_{2}^{2} }$ и $\frac{1}{v_{1} }$. Получается, что в первом случае, когда $v_{2} = 3,5 км/ч$, кошке выгоднее двигаться по траектории, изображенной на рисунке. Однако, при этом величина x окажется равной примерно 6,2 км, что больше величины $b$. Это означает, что реально время движения имеет два локальных минимума: один реализуется, когда кошка сразу сворачивает в поле и все время бежит по нему, а второй - когда кошка все время бежит по дороге. В случае движения по полю время составит 1,67 ч, а в случае движения по дороге - 2 ч. Во втором случае, когда $v_{2} = 2,5 км/ч$, кошке выгоднее все время бежать по дороге, и время движения составит 2 ч.
Теперь обсудим вопрос, который, возможно, у внимательного читателя уже созрел. Как же работает принцип Ферма в том случае, когда кошка все время бежит по дороге? Кошка может на перекрестке повернуть на 90 градусов, но может ли вести себя подобным образом свет? Здесь необходимо заметить, что, с современной точки зрения, принцип Ферма является следствием еще более общего принципа - принципа Гюйгенса-Френеля. Точнее, принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса-Френеля в волновой оптике для очень малой (по сравнению с другими объектами в задаче) длины волны света. Одним из важных явлений волновой оптики является дифракция света. И в аналогии, проведенной в данной задаче, свет может повернуть на 90 градусов как раз за счет дифракции. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, каждая точка среды или вакуума, до которой дошло возмущение (световые волны), сама становится источником вторичных волн, а результирующее световое поле в каждой точке пространства определяется интерференцией этих волн. Когда свет, распространяясь от деревни B вдоль дороги, достигнет Т-образного перекрестка, от перекрестка начнут распространяться вторичные волны, часть которых будет направлена к деревне A. Таким образом, свет, вследствие дифракции, действительно "обогнет" угол. Интенсивность света, первым достигшего "родной деревни кошки", будет очень малой, но именно по такой траектории свет дойдет быстрее всего.
Жители деревни A продают свой дом, где они жили вместе с кошкой. Решив, что новым хозяевам кошка не понравится, они отвезли ее в деревню B (рис.), проехав на машине $a = 3 км$ до T-образного перекрестка и еще $b = 5 км$ до деревни B, оставили ее там, вернулись обратно и продали дом. Кошка
же надеется, что новым, хозяевам она понравится. Представим, что кошка может вернуться домой, причем за минимальное время. Она может двигаться по дороге со скоростью $v_{1} = 4 км/ч$, а по полю - со скоростью $v_{2} = 3,5 км/ч$.
1) По какой траектории должна двигаться кошка, чтобы вернуться домой за минимальное время? Чему равно это время?
2) Решите ту же задачу, если скорость кошки по полю равна $v_{2} = 2,5 км/ч$, а все остальные данные прежние.
Решение:
Как же нужно двигаться кошке? Может быть, все время по дороге? Может, как-то срезать угол? А может быть, все время двигаться по полю? Заметим, что решить эту задачу чисто математически, с помощью исследования функции, будет не так просто, как предыдущую задачу, поскольку мы будем иметь дело с функцией двух переменных. Если кошка срезает угол, то нужно найти две точки: ту, где кошка должна свернуть в поле, и ту, где она должна снова выйти на дорогу. И вот здесь как раз полезна оптическая аналогия. Согласно принципу Ферма, луч света движется из начальной точки в конечную по такому пути, при котором время распространения света имеет локальный минимум. Будем считать дорогу средой с показателем преломления 1, а поле - средой с показателем преломления $n = \frac{v_{1} }{v_{2} }$. Рассмотрим траекторию, при которой свет
претерпевает преломление на границе этих двух сред (рис.). При этом угол преломления равен критическому углу, определяемому равенством
$\sin \alpha_{кр} = \frac{1}{n} = \frac{v_{2} }{v_{1} }$.
С другой стороны, из рисунка находим
$\sin \alpha_{кр} = \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + a^{2} } }$,
где $x$ - расстояние от перекрестка до той точки, где кошка должна свернуть в поле. Из этих уравнений имеем
$x = \frac{av_{1} }{ \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } }, \sqrt{x^{2} + a^{2} } = \frac{av_{1}^{2} }{ v_{2} \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2} } }$.
Тогда время движения кошки по этому пути будет равно
$t = \frac{b - x}{v_{1}} + \frac{ \sqrt{x^{2} + a^{2} } }{v_{2} } = \frac{b}{v_{1} } + \frac{a \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2} } }{v_{2}^{2} }$.
Но вспомним, что принцип Ферма позволяет находить траектории, обеспечивающие локальные минимумы времени распространения света, но не глобальный минимум. Понятно, что если скорость кошки в поле будет очень маленькой, то кошке будет выгодно бежать все время по дороге (рис.). В этом случае время движения кошки будет равно
$T = \frac{a + b}{v_{1} }$.
Таким образом, чтобы найти глобальный минимум времени движения кошки, нужно сравнить выражения для $t$ и $T$, или, что то же самое, выражения $\frac{ \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2} } }{v_{2}^{2} }$ и $\frac{1}{v_{1} }$. Получается, что в первом случае, когда $v_{2} = 3,5 км/ч$, кошке выгоднее двигаться по траектории, изображенной на рисунке. Однако, при этом величина x окажется равной примерно 6,2 км, что больше величины $b$. Это означает, что реально время движения имеет два локальных минимума: один реализуется, когда кошка сразу сворачивает в поле и все время бежит по нему, а второй - когда кошка все время бежит по дороге. В случае движения по полю время составит 1,67 ч, а в случае движения по дороге - 2 ч. Во втором случае, когда $v_{2} = 2,5 км/ч$, кошке выгоднее все время бежать по дороге, и время движения составит 2 ч.
Теперь обсудим вопрос, который, возможно, у внимательного читателя уже созрел. Как же работает принцип Ферма в том случае, когда кошка все время бежит по дороге? Кошка может на перекрестке повернуть на 90 градусов, но может ли вести себя подобным образом свет? Здесь необходимо заметить, что, с современной точки зрения, принцип Ферма является следствием еще более общего принципа - принципа Гюйгенса-Френеля. Точнее, принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса-Френеля в волновой оптике для очень малой (по сравнению с другими объектами в задаче) длины волны света. Одним из важных явлений волновой оптики является дифракция света. И в аналогии, проведенной в данной задаче, свет может повернуть на 90 градусов как раз за счет дифракции. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, каждая точка среды или вакуума, до которой дошло возмущение (световые волны), сама становится источником вторичных волн, а результирующее световое поле в каждой точке пространства определяется интерференцией этих волн. Когда свет, распространяясь от деревни B вдоль дороги, достигнет Т-образного перекрестка, от перекрестка начнут распространяться вторичные волны, часть которых будет направлена к деревне A. Таким образом, свет, вследствие дифракции, действительно "обогнет" угол. Интенсивность света, первым достигшего "родной деревни кошки", будет очень малой, но именно по такой траектории свет дойдет быстрее всего.
