Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13962
2020-04-05 
A. В окне закрытой комнаты установлено бронированное стекло толщиной $h_{1} = 8 см$, имеющее коэффициент теплопроводности $k_{1} = 0,3 Вт/(м \cdot К)$. Температура на улице $T = -20^{ \circ} С$, а в комнате поддерживают температуру $T_{2} = 20^{ \circ} С$. Считайте, что около окна образуется переходный слой воздуха толщиной $h_{2} = 2 см$, температура которого меняется от температуры комнаты до температуры внутренней стороны окна. Какая относительная влажность $\phi$ установится в комнате, если изначально воздух был достаточно влажный? Коэффициент теплопроводности воздуха примите равным $k_{2} = 0,025 Вт/(м \cdot К)$.
B. Найдите отношение x скоростей падения температуры от начального значения $T = 15^{ \circ} С$ сразу после отключения отопления в закрытой комнате с сухим воздухом и в точно такой же комнате с максимально влажным воздухом, если не учитывать теплоемкость стен и предметов в комнате. Атмосферное давление $p_{0} = 100 кПа$. Удельная теплота парообразования воды при низких температурах составляет $L = 2,5 МДж/кг$.
Примечание. В задачах А и В речь идет о разных комнатах. Давление насыщенного пара при некоторых температурах приведено в таблице.
Решение:
А. Пусть $T_{3}$ - температура внутренней стороны окна, $S$ -площадь окна, тогда равенство потоков тепла через стекло и через пограничный слой воздуха имеет вид
$k_{1}S \frac{T_{3} - T_{1} }{h_{1} } = k_{2}S \frac{T_{2} - T_{3} }{h_{2} }$, откуда $T_{3} = \frac{ \frac{k_{1} }{h_{1} }T_{1} + \frac{k_{2} }{h_{2} } T_{2} }{ \frac{k_{1} }{h_{1} } + \frac{k_{2} }{h_{2} } } \approx - 10^{ \circ} С$.
Пар будет конденсироваться на стекле, пока его давление не станет равным давлению насыщенного пара при температуре стекла. Отсюда находим
$\phi = \frac{p_{нас} ( T_{3} )}{ p_{нас} (T_{2} ) } = \frac{286,8 Па}{2338 Па} \approx 0,123 = 12,3$%
В. Искомое отношение равно $x = \frac{ \Delta Q_{2}}{ \Delta Q_{1}}$, где $\Delta Q_{1}$ и $\Delta Q_{2}$ - количества теплоты, которые нужно подвести к сухому и максимально влажному воздуху соответственно для нагревания на небольшую температуру $\Delta T$. Пусть $V$ - объем комнаты, $\nu$ - количество воздуха в комнате, $R$ - универсальная газовая постоянная. Тогда с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона можно записать первое начало термодинамики для $\Delta Q_{1}$ в виде
$\Delta Q_{1} = \frac{5}{2} \nu R \Delta T = \frac{5}{2} \frac{p_{0} V}{T} \Delta T$.
Поскольку воздух максимально влажный, давление $p$ пара находим по таблице из условия, а давление $p_{a}$ воздуха выражаем как парциальное давление:
$p = p_{нас}(T) = 1706 Па , p_{a} = p_{0} - p = 98,3 кПа$.
Аналогичное выражение для первого начала термодинамики в случае влажного воздуха имеет вид
$\Delta Q_{21} = \frac{5}{2} \frac{p_{a}V }{T} \Delta T + 3 \frac{pV}{T} \Delta T$,
где учтено, что водяной пар является трехатомным газом, но еще не учтено испарение воды. Из уравнения Менделеева-Клапейрона выразим массу пара и ее изменение:
$m = \frac{Mp_{нас}V}{RT}, \Delta m = m^{ \prime} (T) \Delta T = \frac{MV}{RT^{2} } ( Tp_{нас}^{ \prime} - p_{нас}) \Delta T$,
а производную давления найдем численно по таблице:
$a = p_{нас}^{ \prime} (T) = \frac{p_{нас} (T + 1 К) - p_{нас} (T - 1К)}{2 К} = 110Па/К$.
Количество теплоты, необходимое для испарения, имеет вид
$\Delta Q_{22} = L \Delta m = \frac{MV}{RT^{2}} (aT - p) \Delta T$.
Используя выражение $\Delta Q_{2} = \Delta Q_{21} + \Delta Q_{22}$, получим
$x = \frac{p_{a} }{p_{0} } + \frac{6p }{5p_{0} } + \frac{2ML}{5RTp_{0} } (aT - p)$.
Каждое слагаемое в этой формуле связано с отдельным эффектом, поэтому для их количественного сравнения вычислим $x$ поэтапно:
$x = 0,983 + 0,0205 + 2,254 \approx 3,26$.
Таким образом, сухой воздух остывает существенно быстрее влажного.
A. В окне закрытой комнаты установлено бронированное стекло толщиной $h_{1} = 8 см$, имеющее коэффициент теплопроводности $k_{1} = 0,3 Вт/(м \cdot К)$. Температура на улице $T = -20^{ \circ} С$, а в комнате поддерживают температуру $T_{2} = 20^{ \circ} С$. Считайте, что около окна образуется переходный слой воздуха толщиной $h_{2} = 2 см$, температура которого меняется от температуры комнаты до температуры внутренней стороны окна. Какая относительная влажность $\phi$ установится в комнате, если изначально воздух был достаточно влажный? Коэффициент теплопроводности воздуха примите равным $k_{2} = 0,025 Вт/(м \cdot К)$.
B. Найдите отношение x скоростей падения температуры от начального значения $T = 15^{ \circ} С$ сразу после отключения отопления в закрытой комнате с сухим воздухом и в точно такой же комнате с максимально влажным воздухом, если не учитывать теплоемкость стен и предметов в комнате. Атмосферное давление $p_{0} = 100 кПа$. Удельная теплота парообразования воды при низких температурах составляет $L = 2,5 МДж/кг$.
Примечание. В задачах А и В речь идет о разных комнатах. Давление насыщенного пара при некоторых температурах приведено в таблице.
Решение:
А. Пусть $T_{3}$ - температура внутренней стороны окна, $S$ -площадь окна, тогда равенство потоков тепла через стекло и через пограничный слой воздуха имеет вид
$k_{1}S \frac{T_{3} - T_{1} }{h_{1} } = k_{2}S \frac{T_{2} - T_{3} }{h_{2} }$, откуда $T_{3} = \frac{ \frac{k_{1} }{h_{1} }T_{1} + \frac{k_{2} }{h_{2} } T_{2} }{ \frac{k_{1} }{h_{1} } + \frac{k_{2} }{h_{2} } } \approx - 10^{ \circ} С$.
Пар будет конденсироваться на стекле, пока его давление не станет равным давлению насыщенного пара при температуре стекла. Отсюда находим
$\phi = \frac{p_{нас} ( T_{3} )}{ p_{нас} (T_{2} ) } = \frac{286,8 Па}{2338 Па} \approx 0,123 = 12,3$%
В. Искомое отношение равно $x = \frac{ \Delta Q_{2}}{ \Delta Q_{1}}$, где $\Delta Q_{1}$ и $\Delta Q_{2}$ - количества теплоты, которые нужно подвести к сухому и максимально влажному воздуху соответственно для нагревания на небольшую температуру $\Delta T$. Пусть $V$ - объем комнаты, $\nu$ - количество воздуха в комнате, $R$ - универсальная газовая постоянная. Тогда с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона можно записать первое начало термодинамики для $\Delta Q_{1}$ в виде
$\Delta Q_{1} = \frac{5}{2} \nu R \Delta T = \frac{5}{2} \frac{p_{0} V}{T} \Delta T$.
Поскольку воздух максимально влажный, давление $p$ пара находим по таблице из условия, а давление $p_{a}$ воздуха выражаем как парциальное давление:
$p = p_{нас}(T) = 1706 Па , p_{a} = p_{0} - p = 98,3 кПа$.
Аналогичное выражение для первого начала термодинамики в случае влажного воздуха имеет вид
$\Delta Q_{21} = \frac{5}{2} \frac{p_{a}V }{T} \Delta T + 3 \frac{pV}{T} \Delta T$,
где учтено, что водяной пар является трехатомным газом, но еще не учтено испарение воды. Из уравнения Менделеева-Клапейрона выразим массу пара и ее изменение:
$m = \frac{Mp_{нас}V}{RT}, \Delta m = m^{ \prime} (T) \Delta T = \frac{MV}{RT^{2} } ( Tp_{нас}^{ \prime} - p_{нас}) \Delta T$,
а производную давления найдем численно по таблице:
$a = p_{нас}^{ \prime} (T) = \frac{p_{нас} (T + 1 К) - p_{нас} (T - 1К)}{2 К} = 110Па/К$.
Количество теплоты, необходимое для испарения, имеет вид
$\Delta Q_{22} = L \Delta m = \frac{MV}{RT^{2}} (aT - p) \Delta T$.
Используя выражение $\Delta Q_{2} = \Delta Q_{21} + \Delta Q_{22}$, получим
$x = \frac{p_{a} }{p_{0} } + \frac{6p }{5p_{0} } + \frac{2ML}{5RTp_{0} } (aT - p)$.
Каждое слагаемое в этой формуле связано с отдельным эффектом, поэтому для их количественного сравнения вычислим $x$ поэтапно:
$x = 0,983 + 0,0205 + 2,254 \approx 3,26$.
Таким образом, сухой воздух остывает существенно быстрее влажного.
