Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13961
2020-04-05 
Под каким положительным углом $\phi$ к горизонту нужно бросить тело, чтобы за время его полета до возвращения на исходную высоту среднее значение модуля вектора тангенциального ускорения совпало с модулем среднего значения вектора нормального ускорения? Сопротивление воздуха не учитывайте. В этой задаче не требуется давать ответ в общем виде, а необходимо и достаточно получить искомое значение с точностью до десятых долей углового градуса.
Решение:
Модуль вектора тангенциального ускорения отвечает за изменение модуля скорости, поэтому для нахождения его среднего значения достаточно поделить общее изменение модуля скорости в ходе подъема тела до наивысшей точки на время подъема, так как среднее значение за время спуска будет таким же в силу симметрии движения.
Пусть $v_{0}$ - начальная скорость тела, $g$ - ускорение свободного падения, тогда время подъема $T = \frac{v_{0} \sin \phi }{g}$, а среднее значение модуля вектора тангенциального ускорения
$\langle |a_{t}| \rangle = \frac{ v_{0} - v_{0} \cos \phi}{T} = g \frac{1 - \cos \phi}{ \sin \phi}$.
Расчет модуля среднего значения вектора нормального ускорения принципиально иной - сначала выполняется усреднение, а потом уже берется модуль. В силу симметрии движения относительно вертикальной прямой, проходящей через наивысшую точку траектории, среднее значение вектора нормального ускорения будет направлено вертикально вниз, поэтому можно сразу усреднять только его вертикальную проекцию $a_{ny}$, причем только за время подъема, так как за время спуска среднее значение проекции будет таким же. Пусть $\alpha$ - угол наклона скорости к горизонту в момент времени t от начала полета. Тогда искомое среднее значение имеет вид
$| \langle a_{n} \rangle | = | \langle a_{ny} \rangle | = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} g \cos^{2} \alpha \cdot dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{gdt}{tg^{2} \alpha + 1 } = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{gdt}{ \left ( \frac{v_{0} \sin \phi - gt }{v_{0} \cos \phi } \right )^{2} + 1 } = \frac{v_{0} \cos \phi }{T} \left . \left ( \frac{gt - v_{0} \sin \phi }{v_{0} \cos \phi } \right ) \right |_{0}^{T} = \frac{g \phi \cos \phi }{ \sin \phi}$.
Приравнивая финальные выражения для ускорений, получаем уравнение
$\frac{1}{ \cos \phi} - 1 = \phi$.
Это трансцендентное уравнение, поэтому решить мы его можем только численными методами. Чтобы определить число его решений в интересующем нас промежутке $0 < \phi < \frac{ \pi}{2}$, построим графики левой (Л) и правой (П) частей этого уравнения (рис.). Из графиков можно видеть, что в интервале $0 < \phi < \frac{ \pi}{2}$ уравнение имеет единственный корень вблизи точки $\phi \approx 1$. Чтобы улучшить точность полученной оценки, воспользуемся методом последовательных приближений, записав наше уравнение в виде функции
$\phi_{n} = f( \phi_{n-1}) = \frac{1}{ \cos \phi_{n-1} } - 1$.
Взяв в качестве нулевого приближения $\phi_{0} = 1$, найдем $\phi_{1} = F( \phi_{0} ) \approx 1,047, \phi_{2} = F ( \phi_{1} ) \approx 1,060, \phi_{3} = F( \phi_{2} ) \approx 1,064, \phi_{4} = F( \phi_{3} ) \approx 1,065, \phi_{5} = F( \phi_{4} ) \approx 1,065$. Видно, что последовательность все больше удаляется от предполагаемого положения корня, значит, функция была выбрана неудачно, поэтому перепишем ее по-другому:
$\phi_{n} = F( \phi_{n - 1} ) = arccos \left ( \frac{1}{ \phi_{n - 1} + 1 } \right )$.
Взяв в качестве нулевого приближения $\phi_{0} = 1$, найдем $\phi_{1} = F( \phi_{0} ) \approx 1,047, \phi_{2} = F( \phi_{1} ) \approx 1,060, \phi_{3} = F ( \phi_{2} ) \approx 1,064 , \phi_{4} = F ( \phi_{3} ) \approx 1,065, \phi_{5} = F ( \phi_{4} ) \approx 1,065$. Поскольку равенство ф5 = ф4 выполнено с достаточной точностью, можно записать окончательный ответ:
$\phi \approx 1,065 \approx 61,0^{ \circ}$.
Под каким положительным углом $\phi$ к горизонту нужно бросить тело, чтобы за время его полета до возвращения на исходную высоту среднее значение модуля вектора тангенциального ускорения совпало с модулем среднего значения вектора нормального ускорения? Сопротивление воздуха не учитывайте. В этой задаче не требуется давать ответ в общем виде, а необходимо и достаточно получить искомое значение с точностью до десятых долей углового градуса.
Решение:
Модуль вектора тангенциального ускорения отвечает за изменение модуля скорости, поэтому для нахождения его среднего значения достаточно поделить общее изменение модуля скорости в ходе подъема тела до наивысшей точки на время подъема, так как среднее значение за время спуска будет таким же в силу симметрии движения.
Пусть $v_{0}$ - начальная скорость тела, $g$ - ускорение свободного падения, тогда время подъема $T = \frac{v_{0} \sin \phi }{g}$, а среднее значение модуля вектора тангенциального ускорения
$\langle |a_{t}| \rangle = \frac{ v_{0} - v_{0} \cos \phi}{T} = g \frac{1 - \cos \phi}{ \sin \phi}$.
Расчет модуля среднего значения вектора нормального ускорения принципиально иной - сначала выполняется усреднение, а потом уже берется модуль. В силу симметрии движения относительно вертикальной прямой, проходящей через наивысшую точку траектории, среднее значение вектора нормального ускорения будет направлено вертикально вниз, поэтому можно сразу усреднять только его вертикальную проекцию $a_{ny}$, причем только за время подъема, так как за время спуска среднее значение проекции будет таким же. Пусть $\alpha$ - угол наклона скорости к горизонту в момент времени t от начала полета. Тогда искомое среднее значение имеет вид
$| \langle a_{n} \rangle | = | \langle a_{ny} \rangle | = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} g \cos^{2} \alpha \cdot dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{gdt}{tg^{2} \alpha + 1 } = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{gdt}{ \left ( \frac{v_{0} \sin \phi - gt }{v_{0} \cos \phi } \right )^{2} + 1 } = \frac{v_{0} \cos \phi }{T} \left . \left ( \frac{gt - v_{0} \sin \phi }{v_{0} \cos \phi } \right ) \right |_{0}^{T} = \frac{g \phi \cos \phi }{ \sin \phi}$.
Приравнивая финальные выражения для ускорений, получаем уравнение
$\frac{1}{ \cos \phi} - 1 = \phi$.
Это трансцендентное уравнение, поэтому решить мы его можем только численными методами. Чтобы определить число его решений в интересующем нас промежутке $0 < \phi < \frac{ \pi}{2}$, построим графики левой (Л) и правой (П) частей этого уравнения (рис.). Из графиков можно видеть, что в интервале $0 < \phi < \frac{ \pi}{2}$ уравнение имеет единственный корень вблизи точки $\phi \approx 1$. Чтобы улучшить точность полученной оценки, воспользуемся методом последовательных приближений, записав наше уравнение в виде функции
$\phi_{n} = f( \phi_{n-1}) = \frac{1}{ \cos \phi_{n-1} } - 1$.
Взяв в качестве нулевого приближения $\phi_{0} = 1$, найдем $\phi_{1} = F( \phi_{0} ) \approx 1,047, \phi_{2} = F ( \phi_{1} ) \approx 1,060, \phi_{3} = F( \phi_{2} ) \approx 1,064, \phi_{4} = F( \phi_{3} ) \approx 1,065, \phi_{5} = F( \phi_{4} ) \approx 1,065$. Видно, что последовательность все больше удаляется от предполагаемого положения корня, значит, функция была выбрана неудачно, поэтому перепишем ее по-другому:
$\phi_{n} = F( \phi_{n - 1} ) = arccos \left ( \frac{1}{ \phi_{n - 1} + 1 } \right )$.
Взяв в качестве нулевого приближения $\phi_{0} = 1$, найдем $\phi_{1} = F( \phi_{0} ) \approx 1,047, \phi_{2} = F( \phi_{1} ) \approx 1,060, \phi_{3} = F ( \phi_{2} ) \approx 1,064 , \phi_{4} = F ( \phi_{3} ) \approx 1,065, \phi_{5} = F ( \phi_{4} ) \approx 1,065$. Поскольку равенство ф5 = ф4 выполнено с достаточной точностью, можно записать окончательный ответ:
$\phi \approx 1,065 \approx 61,0^{ \circ}$.
