Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13960
2020-04-05 
В результате взаимодействия только с однородным магнитным полем с индукцией $B$ частица массой $m$ с зарядом $q$ летит с постоянной по модулю скоростью v вдоль траектории, имеющей радиус кривизны $R$.
1) Укажите условие, при котором исходные данные непротиворечивы.
2) Оцените расстояние $l$, на которое сместится частица за большое время $t$.
3) Найдите критерий применимости использованного приближения.
4) Определите точное расстояние $L$, на которое сместится частица за произвольное время $t$.
Решение:
Заряженная частица в однородном магнитном поле движется по винтовой линии в результате сложения двух движений: движения вдоль поля с постоянной скоростью $v_{ \parallel}$ и движения в перпендикулярной полю плоскости по окружности радиусом $r$ с постоянной скоростью $v_{ \perp}$.
1) Частица движется под действием силы Лоренца $F = qv_{ \perp}B$, поэтому ее ускорение
$a = \frac{v^{2}}{R} = \frac{qv_{ \perp}B }{m}$, откуда $v_{ \perp} = \frac{mv^{2} }{qBR}$.
По теореме Пифагора $v^{2} = v_{ \parallel}^{2} + v_{ \perp}^{2}$ находим
$v_{ \parallel} = v \sqrt{1 - \frac{m^{2}v^{2} }{q^{2}B^{2}R^{2} } }$.
Исходные данные непротиворечивы, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. если выполняется условие $mv \leq qBR$.
2) Движение по окружности ограничено, поэтому его вкладом в общее перемещение можно пренебречь, тогда
$l \approx v_{ \parallel} t = vt \sqrt{1 - \frac{m^{2}v^{2} }{q^{2}B^{2}R^{2} } }$.
3) В инерциальной системе отсчета, движущейся со скоростью $v_{ \parallel}$ вдоль поля, частица движется по окружности радиусом $r$ с постоянной скоростью $v_{ \perp}$ и ускорением $a$, поэтому
$r = \frac{v_{ \perp}^{2} }{a} = \frac{mv_{ \perp} }{qB} = \frac{m^{2}v^{2} }{q^{2}B^{2}R^{2} }$.
Использованное при поиске $l$ приближение корректно, когда $l \gg r$, откуда находим критерий применимости:
$t \gg \frac{m^{2}v}{q^{2}B^{2}R } \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{m^{2}v^{2} }{q^{2}B^{2}R^{2} } } }$.
4) Для нахождения $L$ нужно учесть поперечное смещение частицы. За время $t$ она сместится вдоль окружности на угол $\phi = \frac{ v_{ \perp} t}{r}$. Хорда, стягивающая эту дугу, имеет длину
$l_{ \perp} = 2r \left | \sin \frac{ \phi }{2} \right | = \frac{2m^{2}v^{2} }{q^{2}B^{2}R } \left | \sin \left ( \frac{qB}{2m} t \right ) \right |$.
По теореме Пифагора находим общее смещение:
$L = \sqrt{l^{2} + l_{ \perp}^{2} } = \sqrt{ \left ( 1 - \frac{m^{2}v^{2} }{q^{2}B^{2}R^{2} } \right ) v^{2}t^{2} + \frac{4m^{4}v^{4} }{q^{4}B^{4}R^{2} } \sin^{2} \left ( \frac{qB}{2m} t \right ) }$.
В результате взаимодействия только с однородным магнитным полем с индукцией $B$ частица массой $m$ с зарядом $q$ летит с постоянной по модулю скоростью v вдоль траектории, имеющей радиус кривизны $R$.
1) Укажите условие, при котором исходные данные непротиворечивы.
2) Оцените расстояние $l$, на которое сместится частица за большое время $t$.
3) Найдите критерий применимости использованного приближения.
4) Определите точное расстояние $L$, на которое сместится частица за произвольное время $t$.
Решение:
Заряженная частица в однородном магнитном поле движется по винтовой линии в результате сложения двух движений: движения вдоль поля с постоянной скоростью $v_{ \parallel}$ и движения в перпендикулярной полю плоскости по окружности радиусом $r$ с постоянной скоростью $v_{ \perp}$.
1) Частица движется под действием силы Лоренца $F = qv_{ \perp}B$, поэтому ее ускорение
$a = \frac{v^{2}}{R} = \frac{qv_{ \perp}B }{m}$, откуда $v_{ \perp} = \frac{mv^{2} }{qBR}$.
По теореме Пифагора $v^{2} = v_{ \parallel}^{2} + v_{ \perp}^{2}$ находим
$v_{ \parallel} = v \sqrt{1 - \frac{m^{2}v^{2} }{q^{2}B^{2}R^{2} } }$.
Исходные данные непротиворечивы, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. если выполняется условие $mv \leq qBR$.
2) Движение по окружности ограничено, поэтому его вкладом в общее перемещение можно пренебречь, тогда
$l \approx v_{ \parallel} t = vt \sqrt{1 - \frac{m^{2}v^{2} }{q^{2}B^{2}R^{2} } }$.
3) В инерциальной системе отсчета, движущейся со скоростью $v_{ \parallel}$ вдоль поля, частица движется по окружности радиусом $r$ с постоянной скоростью $v_{ \perp}$ и ускорением $a$, поэтому
$r = \frac{v_{ \perp}^{2} }{a} = \frac{mv_{ \perp} }{qB} = \frac{m^{2}v^{2} }{q^{2}B^{2}R^{2} }$.
Использованное при поиске $l$ приближение корректно, когда $l \gg r$, откуда находим критерий применимости:
$t \gg \frac{m^{2}v}{q^{2}B^{2}R } \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{m^{2}v^{2} }{q^{2}B^{2}R^{2} } } }$.
4) Для нахождения $L$ нужно учесть поперечное смещение частицы. За время $t$ она сместится вдоль окружности на угол $\phi = \frac{ v_{ \perp} t}{r}$. Хорда, стягивающая эту дугу, имеет длину
$l_{ \perp} = 2r \left | \sin \frac{ \phi }{2} \right | = \frac{2m^{2}v^{2} }{q^{2}B^{2}R } \left | \sin \left ( \frac{qB}{2m} t \right ) \right |$.
По теореме Пифагора находим общее смещение:
$L = \sqrt{l^{2} + l_{ \perp}^{2} } = \sqrt{ \left ( 1 - \frac{m^{2}v^{2} }{q^{2}B^{2}R^{2} } \right ) v^{2}t^{2} + \frac{4m^{4}v^{4} }{q^{4}B^{4}R^{2} } \sin^{2} \left ( \frac{qB}{2m} t \right ) }$.
