ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-11-19   
Найти максимальную и минимальную перегрузку, которую испытывает летчик, выполняя «мертвую петлю» радиуса $R$. Скорость самолета $v$.


Решение:




На летчика действуют сила реакции со стороны кресла $\vec{N}$ и сила притяжения Земли $m \vec{g}$ ( $m$ — масса летчика).

Пусть в произвольный момент времени угол между вертикалью и осью х равен $\alpha$ (см. рис.).

Запишем основное уравнение динамики для летчика:

$\vec{N} + m \vec{g} = m \vec{a}$ (1)

в проекции на ось х:

$N \cos \beta - mg \cos \alpha = ma$ (2)

и на ось у:

$N \sin \beta - mg \in \alpha = 0$, (3)

где $\beta$ — угол между направлениями оси х и вектором $N$.

Ускорение летчика

$a = \frac{v^{2}}{R}$ (4)

и направлено к центру вращения О.

По определению, величина перегрузки дается соотношением:

$n = \frac{N}{mg}$. (5)

Из системы уравнений (2—4) выразим $N$. Для этого выполним преобразования:

$(N \cos \beta )^{2} = \left ( \frac{mv^{2}}{R} + mg \cos \alpha \right )^{2}$
$+$
$(N \sin \beta)^{2} = (mg \sin \alpha )^{2}$.

Подставим полученное значение

$N = \left [ \left ( \frac{mv^{2}}{R} + mg \cos \alpha \right )^{2} + (mg \sin \alpha)^{2} \right ]^{ \frac{1}{2}}$

в (5):

$n = \sqrt{ \left ( \frac{v^{2}}{Rg} \right )^{2} + 2 \frac{v^{2}}{Rg} \cos \alpha + 1}$.

Отсюда видно, что максимальное значение п принимает при $\alpha = 0$ (в нижней точке траектории):

$n_{max} = \frac{v^{2}}{Rg} + 1$.

Минимальное значение $n$ достигает при $\alpha = \pi$ (верхняя точка полета)

$n_{min} = \frac{v^{2}}{Rg} - 1$.