Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13959
2020-04-05 
Две большие гладкие плиты движутся сонаправленно и перпендикулярно своим плоскостям с постоянными скоростями $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$ (см. рисунок). Маленький легкий шарик движется между плитами, упруго отражаясь от них. В начальный момент времени расстояние между плитами равно $L_{0}$, а шарик касается догоняющей плиты и имеет скорость $\vec{u}_{0}$, направленную под углом $\phi$ к скорости $\vec{u}_{1}$ этой плиты. Известно соотношение между скоростями: $u_{0} \cos \phi > u_{1} > u_{2} > 0$.
1) Найдите модуль перемещения $s_{ \infty}$ шарика к моменту, когда он сделает очень много соударений с плитами.
2) Найдите модуль перемещения $s_{n}$ шарика сразу после n-го соударения с плитой для любого заданного $n$.
Решение:
1) Поскольку при соударениях шарика с плитами трения нет, составляющая скорости шарика, перпендикулярная направлению движения плит, будет оставаться постоянной и равной $v_{ \perp} = u_{0} \sin \phi$. Смещение $x_{ \infty}$ догоняющей плиты к моменту их встречи $t_{ \infty} = \frac{L_{0} }{u_{1} - u_{2} }$ равно
$x_{ \infty} = u_{1}t_{ \infty} = \frac{L_{0}u_{1} }{u_{1} - u_{2} }$.
Смещение шарика в поперечном направлении имеет вид
$y_{ \infty} = v_{ \perp}t_{ \infty} = \frac{L_{0}u_{0} \sin \phi }{u_{1} - u_{2} }$.
В ответ на первый вопрос получаем
$s_{ \infty} = \sqrt{x_{ \infty}^{2} + y_{ \infty}^{2} } = \frac{L_{0} }{u_{1} - u_{2} } \sqrt{u_{1}^{2} + u_{0}^{2} \sin^{2} \phi }$.
2) Для упрощения расчетов перейдем в систему отсчета, движущуюся в направлении движения плит со скоростью $v_{c} = \frac{u_{1} + u_{2}}{2}$, и будем рассматривать пока только продольное движение шарика. В новой системе отсчета плиты сближаются с одинаковыми по модулю скоростями $u = \frac{u_{1} - u_{2}}{2}$, а шарик имеет начальную скорость $v_{0} = u_{0} \cos \phi - v_{c}$.
Пусть $v_{n}$ - модуль скорости шарика сразу после $n$-го соударения. Тогда из условия упругости удара можно записать рекуррентное соотношение $v_{n} = v_{n - 1} + 2u$, из которого следует общая формула $v_{n} = v_{0} + 2un$.
Если $L_{n}$ - расстояние между плитами сразу после $n$-го соударения, $\tau_{n}$ - длительность движения шарика со скоростью $v_{n}$, то из формул для равномерного движения следует
$\tau_{n} = \frac{L_{n} }{v_{n} + u } = \frac{L_{n} }{v_{0} + 2un + u }$,
$L_{n} = L_{n-1} - 2u \tau_{n - 1} = L_{n - 1} \frac{v_{0} + 2un - 3u }{v_{0} + 2un - u }$.
Последовательно выражая $L_{n}$ через $L_{n-1}$, потом выражая $L_{n-1}$ через $L_{n-2}$ и так далее до $L_{1} = L_{0} \frac{v_{0} - u}{v_{0} + u}$, получаем
$L_{n} = \frac{(v_{0} - u )L_{0} }{v_{0} + 2un - u }$,
и
$\tau_{n} = \frac{(v_{0} - u )L_{0} }{(v_{0} + 2un - u )(v_{0} + 2un + u )} = \frac{(v_{0} - u )L_{0} }{2u} \left ( \frac{1}{v_{0} + 2un - u} - \frac{1}{v_{0} + 2un + u } \right )$.
Теперь находим момент времени $n$-го соударения:
$t_{n} = \tau_{0} + \tau_{1} + \cdots + \tau_{n-1} = \frac{nL_{0} }{v_{0} + 2un - u }$.
Вернемся теперь в исходную систему отсчета. Сразу после четного соударения шарик находится около догоняющей плиты, имеющей в этот момент смещение $u_{1}t_{n}$, а сразу после нечетного - около другой плиты, отстоящей на $L_{n}$ дальше догоняющей. С использованием операции остатка от деления смещение шарика вдоль направления движения плит записывается одной формулой:
$x_{n} = u_{1}t_{n} + L_{n} (n mod 2) = L_{0} \frac{u_{1}n + (u_{0} \cos \phi - u_{1} )(n mod 2) }{u_{0} \cos \phi - u_{1} + (u_{1} - u_{2} )n }$.
Смещение шарика в поперечном направлении имеет вид
$y_{n} = v_{ \perp}t_{n} = \frac{L_{0}nu_{0} \sin \phi }{u_{0} \cos \phi - u_{1} + (u_{1} - u_{2} )n }$.
Окончательно получаем
$s_{n} = \sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2} } = \frac{L_{0} \sqrt{ (u_{1}n + ( u_{0} \cos \phi - u_{1} )( n mod 2) )^{2} + n^{2}u_{0}^{2} \sin^{2} \phi } }{u_{0} \cos \phi - u_{1} + (u_{1} - u_{2} )n }$.
Две большие гладкие плиты движутся сонаправленно и перпендикулярно своим плоскостям с постоянными скоростями $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$ (см. рисунок). Маленький легкий шарик движется между плитами, упруго отражаясь от них. В начальный момент времени расстояние между плитами равно $L_{0}$, а шарик касается догоняющей плиты и имеет скорость $\vec{u}_{0}$, направленную под углом $\phi$ к скорости $\vec{u}_{1}$ этой плиты. Известно соотношение между скоростями: $u_{0} \cos \phi > u_{1} > u_{2} > 0$.
1) Найдите модуль перемещения $s_{ \infty}$ шарика к моменту, когда он сделает очень много соударений с плитами.
2) Найдите модуль перемещения $s_{n}$ шарика сразу после n-го соударения с плитой для любого заданного $n$.
Решение:
1) Поскольку при соударениях шарика с плитами трения нет, составляющая скорости шарика, перпендикулярная направлению движения плит, будет оставаться постоянной и равной $v_{ \perp} = u_{0} \sin \phi$. Смещение $x_{ \infty}$ догоняющей плиты к моменту их встречи $t_{ \infty} = \frac{L_{0} }{u_{1} - u_{2} }$ равно
$x_{ \infty} = u_{1}t_{ \infty} = \frac{L_{0}u_{1} }{u_{1} - u_{2} }$.
Смещение шарика в поперечном направлении имеет вид
$y_{ \infty} = v_{ \perp}t_{ \infty} = \frac{L_{0}u_{0} \sin \phi }{u_{1} - u_{2} }$.
В ответ на первый вопрос получаем
$s_{ \infty} = \sqrt{x_{ \infty}^{2} + y_{ \infty}^{2} } = \frac{L_{0} }{u_{1} - u_{2} } \sqrt{u_{1}^{2} + u_{0}^{2} \sin^{2} \phi }$.
2) Для упрощения расчетов перейдем в систему отсчета, движущуюся в направлении движения плит со скоростью $v_{c} = \frac{u_{1} + u_{2}}{2}$, и будем рассматривать пока только продольное движение шарика. В новой системе отсчета плиты сближаются с одинаковыми по модулю скоростями $u = \frac{u_{1} - u_{2}}{2}$, а шарик имеет начальную скорость $v_{0} = u_{0} \cos \phi - v_{c}$.
Пусть $v_{n}$ - модуль скорости шарика сразу после $n$-го соударения. Тогда из условия упругости удара можно записать рекуррентное соотношение $v_{n} = v_{n - 1} + 2u$, из которого следует общая формула $v_{n} = v_{0} + 2un$.
Если $L_{n}$ - расстояние между плитами сразу после $n$-го соударения, $\tau_{n}$ - длительность движения шарика со скоростью $v_{n}$, то из формул для равномерного движения следует
$\tau_{n} = \frac{L_{n} }{v_{n} + u } = \frac{L_{n} }{v_{0} + 2un + u }$,
$L_{n} = L_{n-1} - 2u \tau_{n - 1} = L_{n - 1} \frac{v_{0} + 2un - 3u }{v_{0} + 2un - u }$.
Последовательно выражая $L_{n}$ через $L_{n-1}$, потом выражая $L_{n-1}$ через $L_{n-2}$ и так далее до $L_{1} = L_{0} \frac{v_{0} - u}{v_{0} + u}$, получаем
$L_{n} = \frac{(v_{0} - u )L_{0} }{v_{0} + 2un - u }$,
и
$\tau_{n} = \frac{(v_{0} - u )L_{0} }{(v_{0} + 2un - u )(v_{0} + 2un + u )} = \frac{(v_{0} - u )L_{0} }{2u} \left ( \frac{1}{v_{0} + 2un - u} - \frac{1}{v_{0} + 2un + u } \right )$.
Теперь находим момент времени $n$-го соударения:
$t_{n} = \tau_{0} + \tau_{1} + \cdots + \tau_{n-1} = \frac{nL_{0} }{v_{0} + 2un - u }$.
Вернемся теперь в исходную систему отсчета. Сразу после четного соударения шарик находится около догоняющей плиты, имеющей в этот момент смещение $u_{1}t_{n}$, а сразу после нечетного - около другой плиты, отстоящей на $L_{n}$ дальше догоняющей. С использованием операции остатка от деления смещение шарика вдоль направления движения плит записывается одной формулой:
$x_{n} = u_{1}t_{n} + L_{n} (n mod 2) = L_{0} \frac{u_{1}n + (u_{0} \cos \phi - u_{1} )(n mod 2) }{u_{0} \cos \phi - u_{1} + (u_{1} - u_{2} )n }$.
Смещение шарика в поперечном направлении имеет вид
$y_{n} = v_{ \perp}t_{n} = \frac{L_{0}nu_{0} \sin \phi }{u_{0} \cos \phi - u_{1} + (u_{1} - u_{2} )n }$.
Окончательно получаем
$s_{n} = \sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2} } = \frac{L_{0} \sqrt{ (u_{1}n + ( u_{0} \cos \phi - u_{1} )( n mod 2) )^{2} + n^{2}u_{0}^{2} \sin^{2} \phi } }{u_{0} \cos \phi - u_{1} + (u_{1} - u_{2} )n }$.
