Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13958
2020-04-05 
Тонкая пластинка, двигавшаяся по направлению, составляющему угол $\phi$ с ее плоскостью, ударяется о точно такую же покоящуюся пластинку, параллельную первой (рис.). Пластинки сделаны из упругого материала, но поверхности у них шероховатые. При каком значении коэффициента трения $\mu$ между пластинками скорость, приобретенная второй пластинкой, будет максимальной?
Решение:
Попробуем рассмотреть сначала изменение импульсов тел вдоль оси $x$ (рис.). Обозначим скорость верхней (первой) пластинки до удара через $\vec{v}_{1}$, после удара - через $\vec{u}_{1}$, а скорость второй (нижней) пластины после удара - через $\vec{u}_{2}$. Поскольку в направлении оси $x$ действуют только упругие силы, столкновение пластинок в этом направлении можно уподобить, например, упругому лобовому столкновению бильярдных шаров, один из которых в момент удара покоится. Известно, что в этом случае шары обмениваются скоростями, т.е. налетающий шар останавливается, передав свой импульс неподвижному. По аналогии то же произойдет с пластинками: в направлении оси $x$ проекция скорости $u_{1x}$ первой пластинки после удара обратится в ноль, в то время как
$u_{2x} = v_{1x}$.
Любящий строгие доказательства читатель легко убедится в этом, использовав совместно законы сохранения импульса и механический энергии:
$mv_{1x} = mu_{1x} + mu_{2x}$,
$\frac{mv_{1x}^{2} }{2} = \frac{mu_{1x}^{2} }{2} + \frac{mu_{2x}^{2} }{2}$.
Рассмотрим теперь процессы, происходящие в направлении оси $y$. Скорость $u_{2y}$ приобретается второй пластиной под действием силы трения скольжения $F_{тр} = \mu N$, где $N$ - модуль силы реакции. Пользуясь законом изменения проекции импульса второй пластинки на ось $y$, запишем
$mu_{2y} = \mu N \Delta t$,
где $\Delta t$ - время, за которое сравниваются скорости пластинок вдоль оси $y$. Аналогично записываем тот же закон для второй пластинки вдоль оси $x$:
$mu_{2x} = N \Delta t$.
Из последних двух равенств получим
$\frac{u_{2y} }{u_{2x} } = \mu$.
Запишем далее закон сохранения импульса для системы из двух пластин в направлении оси $y$:
$mv_{1y} = mu_{1y} + mu_{2y}$.
Скорость нижней пластинки будет максимальной в том случае, если за время, пока происходит упругая деформация, прекратится проскальзывание одной пластинки относительно другой. Или, другими словами, составляющие скоростей вдоль плоскости пластинок за время соударения сравняются. В противном случае сила трения при проскальзывании будет продолжать ускорять нижнюю пластинку, что приведет к дальнейшему возрастанию ее скорости. Выразим условие прекращения проскальзывания математически:
$u_{1y} = u_{2y}$.
Тогда
$u_{2y} = \frac{v_{1y} }{2}$.
Окончательно получим
$\mu = \frac{ u_{2y}}{u_{2x} } = \frac{v_{1y}}{2v_{1x} } = \frac{v_{1} \cos \phi}{2v_{1} \sin \phi } = \frac{1}{2} ctg \phi$.
Тонкая пластинка, двигавшаяся по направлению, составляющему угол $\phi$ с ее плоскостью, ударяется о точно такую же покоящуюся пластинку, параллельную первой (рис.). Пластинки сделаны из упругого материала, но поверхности у них шероховатые. При каком значении коэффициента трения $\mu$ между пластинками скорость, приобретенная второй пластинкой, будет максимальной?
Решение:
Попробуем рассмотреть сначала изменение импульсов тел вдоль оси $x$ (рис.). Обозначим скорость верхней (первой) пластинки до удара через $\vec{v}_{1}$, после удара - через $\vec{u}_{1}$, а скорость второй (нижней) пластины после удара - через $\vec{u}_{2}$. Поскольку в направлении оси $x$ действуют только упругие силы, столкновение пластинок в этом направлении можно уподобить, например, упругому лобовому столкновению бильярдных шаров, один из которых в момент удара покоится. Известно, что в этом случае шары обмениваются скоростями, т.е. налетающий шар останавливается, передав свой импульс неподвижному. По аналогии то же произойдет с пластинками: в направлении оси $x$ проекция скорости $u_{1x}$ первой пластинки после удара обратится в ноль, в то время как
$u_{2x} = v_{1x}$.
Любящий строгие доказательства читатель легко убедится в этом, использовав совместно законы сохранения импульса и механический энергии:
$mv_{1x} = mu_{1x} + mu_{2x}$,
$\frac{mv_{1x}^{2} }{2} = \frac{mu_{1x}^{2} }{2} + \frac{mu_{2x}^{2} }{2}$.
Рассмотрим теперь процессы, происходящие в направлении оси $y$. Скорость $u_{2y}$ приобретается второй пластиной под действием силы трения скольжения $F_{тр} = \mu N$, где $N$ - модуль силы реакции. Пользуясь законом изменения проекции импульса второй пластинки на ось $y$, запишем
$mu_{2y} = \mu N \Delta t$,
где $\Delta t$ - время, за которое сравниваются скорости пластинок вдоль оси $y$. Аналогично записываем тот же закон для второй пластинки вдоль оси $x$:
$mu_{2x} = N \Delta t$.
Из последних двух равенств получим
$\frac{u_{2y} }{u_{2x} } = \mu$.
Запишем далее закон сохранения импульса для системы из двух пластин в направлении оси $y$:
$mv_{1y} = mu_{1y} + mu_{2y}$.
Скорость нижней пластинки будет максимальной в том случае, если за время, пока происходит упругая деформация, прекратится проскальзывание одной пластинки относительно другой. Или, другими словами, составляющие скоростей вдоль плоскости пластинок за время соударения сравняются. В противном случае сила трения при проскальзывании будет продолжать ускорять нижнюю пластинку, что приведет к дальнейшему возрастанию ее скорости. Выразим условие прекращения проскальзывания математически:
$u_{1y} = u_{2y}$.
Тогда
$u_{2y} = \frac{v_{1y} }{2}$.
Окончательно получим
$\mu = \frac{ u_{2y}}{u_{2x} } = \frac{v_{1y}}{2v_{1x} } = \frac{v_{1} \cos \phi}{2v_{1} \sin \phi } = \frac{1}{2} ctg \phi$.
