Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13957
2020-04-05 
Мыльному пузырю радиусом $R$ сообщен заряд $Q$. Найдите давление электростатического поля на поверхности пузыря. Мыльную пленку считайте проводящей.
Решение:
Заряды на поверхности мыльного пузыря, который мы будем представлять в виде сферы, находятся в электростатическом поле напряженностью $E$. Выделим маленький участок сферы площадью $\Delta S$. Он несет на себе заряд $\Delta q = \sigma \Delta S$, где $\sigma = \frac{Q}{4 \pi R^{2} }$ - поверхностная плотность заряда сферы. Если напряженность электрического поля сферы $E$, то на выделенный участок действует сила
$\Delta F = E \Delta q = E \sigma \Delta S$.
Тогда давление электрического поля на поверхности мыльного пузыря будет равно
$p = \frac{ \Delta F}{ \Delta S} = E \sigma = \frac{EQ}{4 \pi R^{2} }$.
Таким образом, давление зависит от напряженности электрического поля сферы. Найдем ее.
Если мы возьмем бесконечную плоскость с поверхностной плотностью заряда $\sigma$, то напряженность электрического поля на самой поверхности равна нулю, вследствие равноправности всех направлений. А вне поверхности напряженность поля равна $E = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} }$, в чем нетрудно убедиться, например воспользовавшись теоремой Гаусса.
Рассмотрим теперь замкнутую сферическую поверхность. Очень малый участок этой поверхности площадью $\Delta S$ можно считать плоским (рис.). По обе стороны от себя он создает поле, причем $\vec{E}_{1} = - \vec{E}_{1}^{ \prime}$. Кроме того, вблизи данного элемента поверхности зарядами, расположенными на всей остальной поверхности проводника, создается свое поле, прич ем он о одно и то же внутри сферы и снаружи, т.е. $\vec{E}_{2} = \vec{E}_{2}^{ \prime}$. Напряженность электрического поля внутри сферы равна нулю, откуда следует, что $\vec{E}_{2}^{ \prime} = - \vec{E}_{1}^{ \prime}$, или $\vec{E}_{2} = \vec{E}_{1}$. Так как $E_{1} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} }$, то и $E_{2} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} }$, т.е. электрические заряды выделенного элемента поверхности сферы находятся в электрическом поле, напряженность которого
$E = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} }$.
Это значение мы и должны принять за напряженность электрического поля равномерно заряженной сферы с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ (так как напряженность электрического поля зарядов, находящихся на поверхности выделенного участка, как было указано ранее, равна нулю).
Однако большинство авторов книг и статей в журналах утверждают, что значение напряженности поля в точках, принадлежащих поверхности сферы, будет таким же, как и в точках, находящихся на бесконечно близком расстоянии от внешней поверхности сферы, т.е.
$E = \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0}}$.
Решение 2. Первоначальная потенциальная энергия заряженной сферы равна $W_{1} = \frac{kQ^{2} }{2R}$. Дадим возможность нашей сфере расшириться до радиуса $R + \Delta R$, где $\Delta R$ -очень малое изменение радиуса. Тогда потенциальная энергия сферы станет $W_{2} = \frac{kQ^{2} }{2(R + \Delta R) }$. Изменение энергии сферы составит
$\Delta W = W_{2} - W_{1} = \frac{kQ^{2} }{2(R + \Delta R)} - \frac{kQ^{2} }{2R} \approx - \frac{kQ^{2} \Delta R }{2R^{2} }$
(в знаменателе мы пренебрегли малым $\Delta R$ по сравнению с $R$).
Работа электрического поля равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с противоположным знаком. В нашем случае
$A = F \Delta R = QE \Delta R = \frac{kQ^{2} \Delta R }{2R^{2} }$,
откуда
$E = \frac{kQ}{2R^{2} } = \frac{Q}{2 \cdot 4 \pi \epsilon_{0}R^{2} } = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} }$.
Получается, что в ходе расширения сферы электрические заряды поверхности сферы двигались в поле, напряженность которого равна
$E = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} }$.
Возвращаясь к нашей задаче определения давления электрического поля на поверхность сферы, получим
$p = E \sigma = \frac{Q^{2} }{32 \epsilon_{0} \pi^{2} R^{4} }$.
Мыльному пузырю радиусом $R$ сообщен заряд $Q$. Найдите давление электростатического поля на поверхности пузыря. Мыльную пленку считайте проводящей.
Решение:
Заряды на поверхности мыльного пузыря, который мы будем представлять в виде сферы, находятся в электростатическом поле напряженностью $E$. Выделим маленький участок сферы площадью $\Delta S$. Он несет на себе заряд $\Delta q = \sigma \Delta S$, где $\sigma = \frac{Q}{4 \pi R^{2} }$ - поверхностная плотность заряда сферы. Если напряженность электрического поля сферы $E$, то на выделенный участок действует сила
$\Delta F = E \Delta q = E \sigma \Delta S$.
Тогда давление электрического поля на поверхности мыльного пузыря будет равно
$p = \frac{ \Delta F}{ \Delta S} = E \sigma = \frac{EQ}{4 \pi R^{2} }$.
Таким образом, давление зависит от напряженности электрического поля сферы. Найдем ее.
Если мы возьмем бесконечную плоскость с поверхностной плотностью заряда $\sigma$, то напряженность электрического поля на самой поверхности равна нулю, вследствие равноправности всех направлений. А вне поверхности напряженность поля равна $E = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} }$, в чем нетрудно убедиться, например воспользовавшись теоремой Гаусса.
Рассмотрим теперь замкнутую сферическую поверхность. Очень малый участок этой поверхности площадью $\Delta S$ можно считать плоским (рис.). По обе стороны от себя он создает поле, причем $\vec{E}_{1} = - \vec{E}_{1}^{ \prime}$. Кроме того, вблизи данного элемента поверхности зарядами, расположенными на всей остальной поверхности проводника, создается свое поле, прич ем он о одно и то же внутри сферы и снаружи, т.е. $\vec{E}_{2} = \vec{E}_{2}^{ \prime}$. Напряженность электрического поля внутри сферы равна нулю, откуда следует, что $\vec{E}_{2}^{ \prime} = - \vec{E}_{1}^{ \prime}$, или $\vec{E}_{2} = \vec{E}_{1}$. Так как $E_{1} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} }$, то и $E_{2} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} }$, т.е. электрические заряды выделенного элемента поверхности сферы находятся в электрическом поле, напряженность которого
$E = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} }$.
Это значение мы и должны принять за напряженность электрического поля равномерно заряженной сферы с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ (так как напряженность электрического поля зарядов, находящихся на поверхности выделенного участка, как было указано ранее, равна нулю).
Однако большинство авторов книг и статей в журналах утверждают, что значение напряженности поля в точках, принадлежащих поверхности сферы, будет таким же, как и в точках, находящихся на бесконечно близком расстоянии от внешней поверхности сферы, т.е.
$E = \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0}}$.
Решение 2. Первоначальная потенциальная энергия заряженной сферы равна $W_{1} = \frac{kQ^{2} }{2R}$. Дадим возможность нашей сфере расшириться до радиуса $R + \Delta R$, где $\Delta R$ -очень малое изменение радиуса. Тогда потенциальная энергия сферы станет $W_{2} = \frac{kQ^{2} }{2(R + \Delta R) }$. Изменение энергии сферы составит
$\Delta W = W_{2} - W_{1} = \frac{kQ^{2} }{2(R + \Delta R)} - \frac{kQ^{2} }{2R} \approx - \frac{kQ^{2} \Delta R }{2R^{2} }$
(в знаменателе мы пренебрегли малым $\Delta R$ по сравнению с $R$).
Работа электрического поля равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с противоположным знаком. В нашем случае
$A = F \Delta R = QE \Delta R = \frac{kQ^{2} \Delta R }{2R^{2} }$,
откуда
$E = \frac{kQ}{2R^{2} } = \frac{Q}{2 \cdot 4 \pi \epsilon_{0}R^{2} } = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} }$.
Получается, что в ходе расширения сферы электрические заряды поверхности сферы двигались в поле, напряженность которого равна
$E = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} }$.
Возвращаясь к нашей задаче определения давления электрического поля на поверхность сферы, получим
$p = E \sigma = \frac{Q^{2} }{32 \epsilon_{0} \pi^{2} R^{4} }$.
