Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13955
2020-04-05 
Система из грузов массами $m$ и $M$ и связывающей их легкой нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей перпендикулярно оси закрепленной цилиндрической трубы (рис.). Грузы находятся на горизонтальной прямой, пересекающей ось трубы. В ходе возникшего движения груз массой $m$ отрывается от поверхности трубы в ее верхней точке А. Найдите массу $M$, если $m = 100 г$. Размеры грузов ничтожно малы по сравнению с радиусом трубы. Трением пренебречь.
Решение:
Прежде чем приступать к непосредственному решению этой задачи, полезно задуматься над вопросом: каким может быть ответ? В условии из числовых величин задана только масса одного груза, а требуется найти массу другого. Значит, конечное выражение для $M$ должно иметь вид $M = km$, где $k$ - безразмерный коэффициент, который нам и предстоит найти в ходе решения. Другими словами, можно смело вводить нужные для записи уравнений физические величины, поскольку при правильном ходе решения они обязательно сократятся.
Теперь пора подумать о закономерностях, которым подчиняются происходящие в задаче процессы. Можно ли использовать закон сохранения механической энергии? Трением пренебрегаем, но ведь есть еще внешние силы, приложенные к грузам: это силы натяжения нити и силы реакции со стороны поверхности трубы. К счастью, силы реакции все время перпендикулярны направлению движения, значит, работы они не совершают. Сила натяжения, приложенная к грузу массой $m$, направлена вдоль его скорости и, следовательно, совершает положительную работу. А сила натяжения, действующая на груз массой $M$, направлена против его скорости, т.е. совершает отрицательную работу. Эти работы по модулю одинаковы: нить нерастяжима (модули скоростей грузов в любой момент времени одинаковы) и невесома (модули сил натяжения тоже одинаковы). Кроме того, нерастяжимость нити поможет найти высоту $h$, на которую опустится груз массой $M$ (рис.):
$h = \frac{ \pi R}{2}$,
где $R$ - радиус трубы. Вот теперь можно уверенно использовать закон сохранения механической энергии:
$0 = mgR + \frac{mv^{2} }{2} - Mg \frac{ \pi R}{2} + \frac{Mv^{2} }{2}$,
где $v$ - скорость каждого груза в момент отрыва. В этот момент груз массой $m$ еще движется по окружности, значит, у него есть центростремительное ускорение $a_{ц} = \frac{v^{2}}{R}$. Оно вызывается только направленной вниз силой тяжести, поскольку груз уже перестал давить на опору, т.е. силы реакции нет, а сила натяжения нити направлена горизонтально. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на вертикальную ось:
$mg = m \frac{v^{2} }{R}$.
Из двух последних уравнений находим
$M = m \frac{3}{ \pi - 1} \approx 140 г$.
Как видим, наше предположение о том, что все введенные величины обязательно сократятся, подтвердилось.
Система из грузов массами $m$ и $M$ и связывающей их легкой нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей перпендикулярно оси закрепленной цилиндрической трубы (рис.). Грузы находятся на горизонтальной прямой, пересекающей ось трубы. В ходе возникшего движения груз массой $m$ отрывается от поверхности трубы в ее верхней точке А. Найдите массу $M$, если $m = 100 г$. Размеры грузов ничтожно малы по сравнению с радиусом трубы. Трением пренебречь.
Решение:
Прежде чем приступать к непосредственному решению этой задачи, полезно задуматься над вопросом: каким может быть ответ? В условии из числовых величин задана только масса одного груза, а требуется найти массу другого. Значит, конечное выражение для $M$ должно иметь вид $M = km$, где $k$ - безразмерный коэффициент, который нам и предстоит найти в ходе решения. Другими словами, можно смело вводить нужные для записи уравнений физические величины, поскольку при правильном ходе решения они обязательно сократятся.
Теперь пора подумать о закономерностях, которым подчиняются происходящие в задаче процессы. Можно ли использовать закон сохранения механической энергии? Трением пренебрегаем, но ведь есть еще внешние силы, приложенные к грузам: это силы натяжения нити и силы реакции со стороны поверхности трубы. К счастью, силы реакции все время перпендикулярны направлению движения, значит, работы они не совершают. Сила натяжения, приложенная к грузу массой $m$, направлена вдоль его скорости и, следовательно, совершает положительную работу. А сила натяжения, действующая на груз массой $M$, направлена против его скорости, т.е. совершает отрицательную работу. Эти работы по модулю одинаковы: нить нерастяжима (модули скоростей грузов в любой момент времени одинаковы) и невесома (модули сил натяжения тоже одинаковы). Кроме того, нерастяжимость нити поможет найти высоту $h$, на которую опустится груз массой $M$ (рис.):
$h = \frac{ \pi R}{2}$,
где $R$ - радиус трубы. Вот теперь можно уверенно использовать закон сохранения механической энергии:
$0 = mgR + \frac{mv^{2} }{2} - Mg \frac{ \pi R}{2} + \frac{Mv^{2} }{2}$,
где $v$ - скорость каждого груза в момент отрыва. В этот момент груз массой $m$ еще движется по окружности, значит, у него есть центростремительное ускорение $a_{ц} = \frac{v^{2}}{R}$. Оно вызывается только направленной вниз силой тяжести, поскольку груз уже перестал давить на опору, т.е. силы реакции нет, а сила натяжения нити направлена горизонтально. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на вертикальную ось:
$mg = m \frac{v^{2} }{R}$.
Из двух последних уравнений находим
$M = m \frac{3}{ \pi - 1} \approx 140 г$.
Как видим, наше предположение о том, что все введенные величины обязательно сократятся, подтвердилось.
