Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13953
2020-04-05 
Из точки, находящейся над вершиной полусферы радиусом $R$, бросают горизонтально шарик (рис. ). Какую минимальную скорость он может иметь при приземлении?
Решение:
Траектория шарика - это ветвь параболы, которая может иметь с полусферой одну точку касания А. Радиус, проведенный в точку касания, образует с вертикалью угол $\phi$. Для последующего анализа искомой скорости попробуем выразить ее функцией одной переменной, например угла $\phi$.
Пусть скорость в точке касания $v_{A}$, а время движения от вершины до этой точки $\tau_{1}$. Для горизонтальной оси проекция скорости неизменна, а по вертикали она меняется с ускорением $g$. Тогда
$R \sin \phi = v_{A} \cos \phi \cdot \tau_{1}$,
$v_{A} \sin \phi = g \tau_{1}$,
откуда находим
$\tau_{1} = \frac{R \sin \phi}{v_{A} \cos \phi }, v_{A}^{2} = \frac{ gR}{ \cos \phi }$.
Для двух состояний шарика запишем закон сохранения механической энергии:
$\frac{mv_{B}^{2}}{2} = \frac{mv_{A}^{2} }{2} + mgR \cos \phi$.
С учетом выражения для $v_{A}^{2}$ получим
$v_{B}^{2} = 2gR \left ( \cos \phi + \frac{1}{2 \cos \phi} \right )$.
Мы выразили искомую скорость как функцию одной переменной $\phi$. Это и есть уравнение связи, отвечающее условиям задачи. Экстремальное значение выражения в скобках определит искомую минимальную скорость. На основе неравенства Буняковского-Коши,
$\cos \phi + \frac{1}{2 \cos \phi} \geq 2 \sqrt{ \frac{ \cos \phi}{2 \cos \phi} }$,
причем равенство определяет минимальное значение:
$\left ( \cos \phi + \frac{1}{2 \cos \phi } \right )_{min} = \sqrt{2}$.
Тогда минимальная скорость тела при приземлении равна
$v_{N \: min} = \sqrt{2 \sqrt{2}gR}$.
Из точки, находящейся над вершиной полусферы радиусом $R$, бросают горизонтально шарик (рис. ). Какую минимальную скорость он может иметь при приземлении?
Решение:
Траектория шарика - это ветвь параболы, которая может иметь с полусферой одну точку касания А. Радиус, проведенный в точку касания, образует с вертикалью угол $\phi$. Для последующего анализа искомой скорости попробуем выразить ее функцией одной переменной, например угла $\phi$.
Пусть скорость в точке касания $v_{A}$, а время движения от вершины до этой точки $\tau_{1}$. Для горизонтальной оси проекция скорости неизменна, а по вертикали она меняется с ускорением $g$. Тогда
$R \sin \phi = v_{A} \cos \phi \cdot \tau_{1}$,
$v_{A} \sin \phi = g \tau_{1}$,
откуда находим
$\tau_{1} = \frac{R \sin \phi}{v_{A} \cos \phi }, v_{A}^{2} = \frac{ gR}{ \cos \phi }$.
Для двух состояний шарика запишем закон сохранения механической энергии:
$\frac{mv_{B}^{2}}{2} = \frac{mv_{A}^{2} }{2} + mgR \cos \phi$.
С учетом выражения для $v_{A}^{2}$ получим
$v_{B}^{2} = 2gR \left ( \cos \phi + \frac{1}{2 \cos \phi} \right )$.
Мы выразили искомую скорость как функцию одной переменной $\phi$. Это и есть уравнение связи, отвечающее условиям задачи. Экстремальное значение выражения в скобках определит искомую минимальную скорость. На основе неравенства Буняковского-Коши,
$\cos \phi + \frac{1}{2 \cos \phi} \geq 2 \sqrt{ \frac{ \cos \phi}{2 \cos \phi} }$,
причем равенство определяет минимальное значение:
$\left ( \cos \phi + \frac{1}{2 \cos \phi } \right )_{min} = \sqrt{2}$.
Тогда минимальная скорость тела при приземлении равна
$v_{N \: min} = \sqrt{2 \sqrt{2}gR}$.
