Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13950
2020-04-05 
Гантелька длиной $l$ стоит в углу, образованном гладкими плоскостями. При малом смещении нижнего шарика A гантелька начинает двигаться. Найдите скорость нижнего шарика в тот момент, когда верхний шарик В оторвется от вертикальной плоскости.
Решение:
Скорости шариков гантельки связаны условием ее жесткости: проекции их скоростей на направление $l$ разными быть не могут. Пусть $\alpha$ - угол, образованный осью $l$ с вертикалью. Тогда
$v_{B} \cos \alpha = v_{A} \sin \alpha$.
При скольжении гантельки ее центр масс понижается, и убыль потенциальной энергии идет на прирост кинетической энергии шариков, поскольку стенки гладкие:
$\frac{mv_{B}^{2} }{2} + \frac{mv_{A}^{2} }{2} = mgl (1 - \cos \alpha )$.
Сила реакции вертикальной стенки увеличивает скорость нижнего шарика до момента отрыва, когда эта сила становится равной нулю. Таким образом, в момент отрыва $v_{A}$ максимальна. Из энергетического соотношения получаем
$v_{B}^{2} + v_{A}^{2} = 2gl (1 - \cos \alpha )$,
или, с учетом условия жесткости,
$v_{A}^{2} = 2gl ( \cos^{2} \alpha - \cos^{3} \alpha )$.
Экстремальное значение выражения в скобках определяет максимум скорости $v_{A}$, т.е. скорость в момент отрыва. Приравнивая производную этого выражения к нулю, находим $\cos \alpha_{отр} = \frac{2}{3}$. Тогда
$v_{Amax} = \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{2}{3}gl }$.
Гантелька длиной $l$ стоит в углу, образованном гладкими плоскостями. При малом смещении нижнего шарика A гантелька начинает двигаться. Найдите скорость нижнего шарика в тот момент, когда верхний шарик В оторвется от вертикальной плоскости.
Решение:
Скорости шариков гантельки связаны условием ее жесткости: проекции их скоростей на направление $l$ разными быть не могут. Пусть $\alpha$ - угол, образованный осью $l$ с вертикалью. Тогда
$v_{B} \cos \alpha = v_{A} \sin \alpha$.
При скольжении гантельки ее центр масс понижается, и убыль потенциальной энергии идет на прирост кинетической энергии шариков, поскольку стенки гладкие:
$\frac{mv_{B}^{2} }{2} + \frac{mv_{A}^{2} }{2} = mgl (1 - \cos \alpha )$.
Сила реакции вертикальной стенки увеличивает скорость нижнего шарика до момента отрыва, когда эта сила становится равной нулю. Таким образом, в момент отрыва $v_{A}$ максимальна. Из энергетического соотношения получаем
$v_{B}^{2} + v_{A}^{2} = 2gl (1 - \cos \alpha )$,
или, с учетом условия жесткости,
$v_{A}^{2} = 2gl ( \cos^{2} \alpha - \cos^{3} \alpha )$.
Экстремальное значение выражения в скобках определяет максимум скорости $v_{A}$, т.е. скорость в момент отрыва. Приравнивая производную этого выражения к нулю, находим $\cos \alpha_{отр} = \frac{2}{3}$. Тогда
$v_{Amax} = \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{2}{3}gl }$.
