2016-11-19
Космический корабль движется по круговой орбите радиуса $R$ вокруг Земли со скоростью $v$, вдвое большей скорости свободного движения по той же орбите. Какую силу тяги развивает двигатель корабля, если его масса $m$?
Решение:
Запишем закон Ньютона для космического корабля в двух описанных в задаче ситуациях: свободное вращение по орбите радиуса $R$ со скоростью $v_{1}$ и вращение по той же орбите с включенным двигателем, развивающим силу тяги $F$, со скоростью $v$:
$\vec{F}_{т} = m \vec{a}_{1}$ (1)
$\vec{F}_{т} + \vec{F} = m \vec{a}$, (2)
где $F_{т}$ — сила притяжения Земли, одинаковая в обеих ситуациях, и
$a_{1} = \frac{v_{1}^{2}}{R}$, (3)
$a_{2} = \frac{v^{2}}{R}$. (4)
Из (2) видно, что направление силы тяги $\vec{F} = m \vec{a} - \vec{F}_{т}$ совпадает с направлением центростремительного ускорения $a_{1}$. Проецируя (1, 2) на ось, направленную по ускорению, получим:
$F_{т} = ma$, (1")
$F_{т} + F = ma$. (2")
Учитывая, что согласно условию:
$v = 2v_{1}$, (5)
из (1", 2", 3, 4) находим:
$F = \frac{3}{4} \cdot \frac{mv^{2}}{R}$.