Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13948
2020-04-05 
В электрической цепи, состоящей из резистора сопротивлением $R$, катушки индуктивностью $L$ и конденсатора емкостью $C_{0}$, на конденсаторе находится заряд $Q_{0}$ (рис.). В некоторый момент времени замыкают ключ K и одновременно начинают изменять емкость конденсатора так, что идеальный вольтметр показывает постоянное напряжение.
1) Как зависит от времени емкость конденсатора $C(t)$ при изменении времени от 0 до $t_{1} = \sqrt{C_{0}L}$?
2) Какую работу за время $t_{1}$ совершили внешние силы? Считайте, что $t = \frac{L}{R} = \sqrt{ C_{0}L}$.
Подсказка. Количество теплоты, выделившееся на резисторе за время $t_{1}$, равно
$W_{R} = \int_{0}^{t_{1} } I^{2} (t) Rdt = \frac{Q_{0}^{2}}{3C_{0} }$.
Решение:
В начальный момент времени ток в цепи не течет, поэтому $U_{L} = U_{C} = \frac{Q_{0} }{C_{0} }$. Поскольку $U_{L} = L \frac{dI}{dt}$ остается постоянным (по условию), то $I = \frac{Q_{0} }{C_{0}L } t$. По закону Ома для полной цепи,
$U_{C} = U_{L} + RI(t) = L \frac{dI}{dt} + RI(t) = \frac{Q_{0} }{C_{0} } + \frac{Q_{0}R }{C_{0}L }t = \frac{Q_{0} }{C_{0} } \left (1 + \frac{R}{L} t \right )$.
Заряд на конденсаторе изменяется по закону
$Q(t) = Q_{0} - \frac{Q_{0}}{C_{0} L} \int_{0}^{t} \tau d \tau = Q_{0} \left ( 1 - \frac{t^{2} }{2C_{0}L } \right )$,
а емкость конденсатора - по закону
$C(t) = \frac{Q(t)}{U(t) } = C_{0} \frac{1 - \frac{t^{2} }{2C_{0}L } }{1 + \frac{Rt}{L} }$.
Искомую работу найдем из закона сохранения энергии
$A = W_{R} + \Delta W_{C} + \Delta W_{L}$.
Окончательно получим
$A = \frac{Q_{0}^{2}}{3C_{0} } + 0 + \frac{Q_{0}^{2}}{2C_{0} } = \frac{5Q_{0}^{2}}{6C_{0} }$.
В электрической цепи, состоящей из резистора сопротивлением $R$, катушки индуктивностью $L$ и конденсатора емкостью $C_{0}$, на конденсаторе находится заряд $Q_{0}$ (рис.). В некоторый момент времени замыкают ключ K и одновременно начинают изменять емкость конденсатора так, что идеальный вольтметр показывает постоянное напряжение.
1) Как зависит от времени емкость конденсатора $C(t)$ при изменении времени от 0 до $t_{1} = \sqrt{C_{0}L}$?
2) Какую работу за время $t_{1}$ совершили внешние силы? Считайте, что $t = \frac{L}{R} = \sqrt{ C_{0}L}$.
Подсказка. Количество теплоты, выделившееся на резисторе за время $t_{1}$, равно
$W_{R} = \int_{0}^{t_{1} } I^{2} (t) Rdt = \frac{Q_{0}^{2}}{3C_{0} }$.
Решение:
В начальный момент времени ток в цепи не течет, поэтому $U_{L} = U_{C} = \frac{Q_{0} }{C_{0} }$. Поскольку $U_{L} = L \frac{dI}{dt}$ остается постоянным (по условию), то $I = \frac{Q_{0} }{C_{0}L } t$. По закону Ома для полной цепи,
$U_{C} = U_{L} + RI(t) = L \frac{dI}{dt} + RI(t) = \frac{Q_{0} }{C_{0} } + \frac{Q_{0}R }{C_{0}L }t = \frac{Q_{0} }{C_{0} } \left (1 + \frac{R}{L} t \right )$.
Заряд на конденсаторе изменяется по закону
$Q(t) = Q_{0} - \frac{Q_{0}}{C_{0} L} \int_{0}^{t} \tau d \tau = Q_{0} \left ( 1 - \frac{t^{2} }{2C_{0}L } \right )$,
а емкость конденсатора - по закону
$C(t) = \frac{Q(t)}{U(t) } = C_{0} \frac{1 - \frac{t^{2} }{2C_{0}L } }{1 + \frac{Rt}{L} }$.
Искомую работу найдем из закона сохранения энергии
$A = W_{R} + \Delta W_{C} + \Delta W_{L}$.
Окончательно получим
$A = \frac{Q_{0}^{2}}{3C_{0} } + 0 + \frac{Q_{0}^{2}}{2C_{0} } = \frac{5Q_{0}^{2}}{6C_{0} }$.
