Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13946
2020-04-05 
Скопления звезд образуют бесстолкновительные системы - галактики, в которых звезды равномерно движутся по круговым орбитам вокруг оси симметрии системы. Галактика NGC 2885 (рис.) состоит из скопления звезд в виде шарового ядра радиусом $r_{я} = 4 кпк$ и тонкого кольца, внутренний радиус которого совпадает с радиусом ядра, а внешний равен $15r_{я}$. Кольцо состоит из звезд с пренебрежимо малой по сравнению с ядром массой. В ядре звезды распределены равномерно.
Было установлено, что линейная скорость движения звезд в кольце не зависит от расстояния до центра галактики: от внешнего края кольца вплоть до края ядра скорость звезд $v_{0} = 240 км/с$. Такое явление может быть объяснено наличием несветящейся массы, или "темной материи", распределенной сферически симметрично относительно центра галактики вне ее ядра.
1) Определите массу $M_{я}$ ядра галактики.
2) Определите среднюю плотность ря вещества ядра галактики.
3) Найдите зависимость плотности "темной материи" $\rho_{т}$ от расстояния $r$ до центра галактики.
4) Вычислите отношение массы "темной материи", влияющей на движение звезд в диске, к массе ядра.
Примечание: 1 кпк = 1 килопарсек = $3,086 \cdot 10^{19} м$, гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} Н \cdot м^{2} \cdot кг^{-2}$.
Решение:
Из основного уравнения динамики $\frac{v_{0}^{2}}{r_{я} } = \frac{GM_{я}}{r_{я}^{2}}$ находим массу ядра галактики:
$M_{я} = \frac{r_{я}v_{0}^{2} }{G} = 1,1 \cdot 10^{41} кг$.
Средняя плотность ядра галактики составляет
$\rho_{я} = \frac{M_{я} }{ \frac{4}{3} \pi r_{я}^{2} } = \frac{3v_{0}^{2} }{4 \pi Gr_{я}^{2} } = 1,35 \cdot 10^{-20} кг/м^{3}$.
Вне ядра галактики уравнение движения имеет вид $\frac{v_{0}^{2}}{r} = \frac{G}{r^{2}} (M_{я} + M_{т}(r))$, или $v_{0}^{2}r = G(M_{я} + M_{т}(r))$. После дифференцирования этого выражения получим $v_{0}^{2} dr = GdM_{т}(r) = G \rho_{т}(r) \cdot 4 \pi r^{2} dr$. Отсюда найдем плотность "темной материи" в зависимости от расстояния $r$:
$\rho_{т}(r) = \frac{v_{0}^{2}}{4 \pi Gr^{2} } = \frac{M_{я}}{4 \pi r_{я}r^{2} }$.
Масса темной материи равна $M_{т} = \frac{15 r_{я}v_{0}^{2}}{G} - M_{я} = 14M_{я}$, и
$\frac{M_{т}}{M_{я} } = 14$.
Скопления звезд образуют бесстолкновительные системы - галактики, в которых звезды равномерно движутся по круговым орбитам вокруг оси симметрии системы. Галактика NGC 2885 (рис.) состоит из скопления звезд в виде шарового ядра радиусом $r_{я} = 4 кпк$ и тонкого кольца, внутренний радиус которого совпадает с радиусом ядра, а внешний равен $15r_{я}$. Кольцо состоит из звезд с пренебрежимо малой по сравнению с ядром массой. В ядре звезды распределены равномерно.
Было установлено, что линейная скорость движения звезд в кольце не зависит от расстояния до центра галактики: от внешнего края кольца вплоть до края ядра скорость звезд $v_{0} = 240 км/с$. Такое явление может быть объяснено наличием несветящейся массы, или "темной материи", распределенной сферически симметрично относительно центра галактики вне ее ядра.
1) Определите массу $M_{я}$ ядра галактики.
2) Определите среднюю плотность ря вещества ядра галактики.
3) Найдите зависимость плотности "темной материи" $\rho_{т}$ от расстояния $r$ до центра галактики.
4) Вычислите отношение массы "темной материи", влияющей на движение звезд в диске, к массе ядра.
Примечание: 1 кпк = 1 килопарсек = $3,086 \cdot 10^{19} м$, гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} Н \cdot м^{2} \cdot кг^{-2}$.
Решение:
Из основного уравнения динамики $\frac{v_{0}^{2}}{r_{я} } = \frac{GM_{я}}{r_{я}^{2}}$ находим массу ядра галактики:
$M_{я} = \frac{r_{я}v_{0}^{2} }{G} = 1,1 \cdot 10^{41} кг$.
Средняя плотность ядра галактики составляет
$\rho_{я} = \frac{M_{я} }{ \frac{4}{3} \pi r_{я}^{2} } = \frac{3v_{0}^{2} }{4 \pi Gr_{я}^{2} } = 1,35 \cdot 10^{-20} кг/м^{3}$.
Вне ядра галактики уравнение движения имеет вид $\frac{v_{0}^{2}}{r} = \frac{G}{r^{2}} (M_{я} + M_{т}(r))$, или $v_{0}^{2}r = G(M_{я} + M_{т}(r))$. После дифференцирования этого выражения получим $v_{0}^{2} dr = GdM_{т}(r) = G \rho_{т}(r) \cdot 4 \pi r^{2} dr$. Отсюда найдем плотность "темной материи" в зависимости от расстояния $r$:
$\rho_{т}(r) = \frac{v_{0}^{2}}{4 \pi Gr^{2} } = \frac{M_{я}}{4 \pi r_{я}r^{2} }$.
Масса темной материи равна $M_{т} = \frac{15 r_{я}v_{0}^{2}}{G} - M_{я} = 14M_{я}$, и
$\frac{M_{т}}{M_{я} } = 14$.
